Les sujets des ateliers MATh.en.JEANS

Trions trions
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024
Collège Saint Adrien:
Saute-lapin ! ​
L’histoire se passe dans un pré. Des lapins de différents poids jouent ensemble à saute-mouton : un de 1 kg, de 2 kg et de 3 kg.​
À chaque saut, deux lapins s’échangent, et un des deux change de couleur. ​
Chaque lapin n’a le droit de s’échanger qu’avec un plus gros que lui devant lui, ou un plus petit que lui derrière lui. ​
Enfin, leur but est qu’il soient tous dans l’ordre du plus léger au plus lourd, et qu’ils soient tous de la même couleur.​
Collège Monod :
Construction métallique
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024
Collège Saint Adrien: Il était une fois... une petite commune nommée Tiercelieux. Cette commune était victime de désastreux effondrements durant les nuits de pleine lune. Il est dit que cette petite commune isolée possédait peu de matériaux pour subvenir à la reconstruction de leurs bâtiments. C'est pour cela, qu'il on fait appel à nos services ! Le projet : économiser leurs ressources (argent, matériaux) tout en construisant des bâtiments solides pour lutter contre ces mystérieux événements...
La calculight
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024
On considère une machine à calculer qui ne prend en compte que des entiers positifs et qui possède trois touches :
— la touche « ×3 » qui permet de multiplier un nombre par 3,
— la touche« ×3 + 2 » qui permet de multiplier un nombre par 3 puis d’ajouter 2 au résultat,
— la touche « : 2 » qui permet de diviser par deux un entier pair.
A l’aide de cette machine, on construit une suite de nombres entiers de la façon suivante :
1. On entre le chiffre 4,
2. On choisit une des touches proposées par la machine et on obtient un nouveau nombre entier,
3. On entre ce nouveau nombre entier et on itère le procédé à partir de l’étape 2.
Tout nombre obtenu par ce procédé est dit atteignable.
Exemples de questions à se poser :
1. Vérifier que 12 est atteignable.
2. Le nombre 2023 est-il atteignable ?
3. Existe-t-il des entiers non atteignables ?
4. Explorer d’autres situations :
— On change le nombre de départ,
— On change les… voir la suite
Tournicolor
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024
Sur une île déserte, vivent des caméléons particuliers : ils peuvent prendre soit la couleur rouge, soit la couleur bleue, soit la couleur verte. Et leur couleur évolue uniquement en fonction des rencontres entre caméléons selon la règle suivante :
— Si deux caméléons de même couleur se rencontrent, rien ne se passe,
— Si deux caméléons de couleurs différentes se rencontrent, ils prennent tous les deux la troisième couleur.
Le nombre de caméléons présents sur l’île ne change pas.
A partir d’une configuration de départ, on s’intéresse à l’évolution de la répartition des caméléons par couleurs.
Exemples de questions à se poser :
1. Existe-t-il des configurations stables, c’est-à-dire qui une fois atteintes n’évolueront plus ?
2. A partir d’une configuration de départ donnée, peut-on arriver à la situation où tous les caméléons sont de couleur identique ?
3. Peut-on toujours, quel que soit le nombre de caméléon présents et quelle que soit la configuration de… voir la suite
Un air de famille
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024
On considère un jeu dans lequel on construit des personnages présentant les caractéristiques suivantes :
— Forme : ronde ou carrée.
— Cheveux : avec ou sans.
— Yeux : noirs, gris ou blancs.
— Bras : deux bras ou un bras droit uniquement ou un bras gauche uniquement ou pas de bras.
— Jambe : deux jambes ou une jambe droite uniquement ou une jambe gauche uniquement ou pas de jambe.
Ces personnages sont créés à partir d’un logiciel qui remplit un tableau de deux colonnes et cinq lignes, chaque cas contenant un 0 ou un 1 avec probabilité 1/2. Ce tableau est appelé la carte génétique du personnage.
La première ligne correspond à la forme, la deuxième aux cheveux, la troisième aux yeux, la quatrième aux bras et la cinquième aux jambes. Et on a les règles suivantes :
— Forme : si la première ligne contient deux 0, la forme est carrée, sinon elle est ronde.
— Cheveux : si la deuxième ligne contient deux 0, le personnage est chauve, sinon il a des cheveux.… voir la suite
Le black jack
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024
Quelle est la meilleure stratégie à adopter pour essayer de battre le croupier ?
Le jeu des petits carrés
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024
Deux joueurs jouent sur un quadrillage de n carreaux par n carreaux (commencer par
n = 3,4) dont le bord est déjà tracé. Chacun trace à son tour un trait sur un côté du quadrillage, sauf s’il referme un carreau, auquel cas il colorie celui-ci de sa couleur et a le droit
de rejouer (jusqu’à ce qu’il ne termine plus de carreau). Pour la présentation, ce sera plus
simple à expliquer au tableau.
Auriez-vous une stratégie pour ce jeu ?
Les jetons sauteurs
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024
On dispose quatre jetons rouges et quatre jetons noirs en alternant les couleurs et en laissant un espace vide de deux cases à la fin.
Un coup consiste à déplacer deux jetons voisins dans l’espace libre. On souhaite arriver à la situation où tous les jetons noirs sont suivis de tous les jetons rouges.
Est-ce possible ? Si oui, en combien de coups ? Et si on veut d’abord ranger les jetons rouges puis les noirs ? Et avec une disposition initiale différente ?
Des calculs de racines faciles
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024
Voici un calcul faux vu dans une vidéo : pour calculer la racine carrée d’un entier, on
additionne ses chiffres et on retranche 2. Par exemple :
√25 : 2 + 5 − 2 = 5, √64 : 6 + 4 − 2 = 8.
Est-ce que cela marche pour beaucoup d’entiers ? Une infinité ? Ou seulement pour un
nombre fini d’entiers, et dans ce cas lesquels ?
En s’inspirant de ceci, on peut inventer une règle similaire (bien évidemment encore
fausse) pour la racine cubique d’un entier : on additionne ses chiffres et on retranche 3.
Le chat et la souris
École élémentaire de la Porte d’Ivry (Paris), Ecole élémentaire Félix Eboué (Le Pecq) 2023-2024
 
Jeu de pièces
École élémentaire de la Porte d’Ivry (Paris), Ecole élémentaire Félix Eboué (Le Pecq) 2023-2024
 
Pavages
École élémentaire de la Porte d’Ivry (Paris), Ecole élémentaire Félix Eboué (Le Pecq) 2023-2024
 
Plus court chemin entre deux points dans la vie
Lycée Jean Jaurès (Reims)  2023-2024
Quel est le plus court chemin entre deux points... dans la vraie vie ? En effet, la ligne droite est optimale... s'il y a pas d'obstacles (dans le plan, dans l'espace, sur une sphère, sur un pavé, dans le plan d'une ville, etc...)
M&M's
Collège Marcel Pagnol (Noyen sur Sarthe), Lycée Lavoisier (Mayenne) 2023-2024
Combien vais-je manger de bonbons selon la règle de tirage aléatoire choisie
Jeux de dames
Collège Carnot (Dijon)  2023-2024
Des dames noires et des dames blanches doivent échanger leurs positions en se déplaçant sur des espaces vides ou en sautant par dessus une autre. Combien de déplacement minimums seront nécessaires ? Y a-t-il une stratégie à adopter ? Et si le nombre de blanches et noires est différent ?
La cagette de pommes
Collège Carnot (Dijon)  2023-2024
Contamination de pommes dans une cagette en fonction des pommes autour. Combien de pommes pour tout contaminer ? Où les placer ? Et si les cagettes ne sont pas carrées mais rectangulaires ?
Trajectoires de marins
Collège Carnot (Dijon)  2023-2024
Comment se déplacer d'un point à l'autre sur le globe en utilisant des routes les plus courtes possibles ? Où va-t-on lorsqu'on se déplace avec un angle constant avec un méridien ? Et si la Terre était un donut ?
Comptons des escaliers
Collège Villey Desmeserets (Caen), Lycée Malherbe (Caen) 2023-2024
On dispose d'un nombre donné de briques et on souhaite compter le nombre d'escaliers différents que l'on peut faire. L'objectif est de compter le nombre d'escaliers différents pour un nombre de briques donné.
Motifs Hitomezashi
Lycée Marcel Sembat (Sotteville-lès-Rouen)  2023-2024
Etude des suites de motifs Hitomezashi.
Les figures de l'ombre
Lycée Marcel Sembat (Sotteville-lès-Rouen)  2023-2024
On imagine un solide dans un cube transparent et on place un point de lumière perpendiculaire à chacune des faces. On obtient une ombre sur chacune des 6 faces. Peut-on retrouver la forme du solide en connaissant les formes des ombres ?
Des chiffres et des chiffres
Collège Kennedy (Mulhouse)  2023-2024
Nous travaillons sur le jeu mathématique de l'émission télévisée.
Optimisation size garbage
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024
A family has three garbage bins: blue (recyclables), green (compost), and black (others). At the beginning of the first week, all the bins are empty. Each week, the family generates a total of 10kg of waste. The waste is then sorted and placed in the bins. Then the heaviest bin is emptied, and its contents are thrown away. What is the minimum requirement (in kg) of each bin so that it does not overflow?
The card game
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024
Two players are given a deck of cards numbered from 1 to 6. Each of them picks a card from the deck. The person with the higher card will win the game. After the cards are picked, one of the players asks the other one 'Do you want to exchange your card with mine?'. Should the other player respond with a yes or a no, assuming perfect logical reasoning by both players? What should be the response if the number of cards is 10?
Cake-cutting problem: How to fairly divide a cake
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024
Suppose you want to divide a cake, with uneven distributions, between two people in a way that makes both of them satisfied, i.e., both of them believe that they have a better or equally good piece as the other one. Such a solution is called an envy-free solution. This is a classical problem whose solution is given by the ‘you cut, I choose’ approach. This means that one of the players cuts the cake into two pieces, and the other one chooses which one to pick for themselves. Since the first player knows that if they cut the cake into unequal pieces then the other player can just pick the better piece, the best strategy for the first player is to cut the cake into equally valued pieces. So the first player would be equally happy independent of the piece they get. The second player then just chooses the piece which makes them more happy, and we get an envy-free solution. How can one generalize this approach to divide a cake between 3 players?
Le problème de la répartition des gains de Pascal
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024
Deux joueurs jouent à un jeu de hasard, disons pile ou face. Ils ont parié 100€, le gagnant étant le premier à arriver à 100 victoires. Malheureusement, ils se voient forcés d’arrêter la partie avant la fin, alors qu’ils en étaient respectivement à 81 et 49 victoires. Quelle serait une répartition juste de la mise ?
Un point, deux états
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024
On considère une particule qui peut être dans trois états : au repos, excitée et désintégrée. On l’observe à chaque seconde et on note X_n l’état observée à la n-ième seconde. Quand elle est au repos, à chaque seconde, elle a une probabilité p de s’exciter. Quand elle est excitée, à chaque seconde, elle a une probabilité q de se désintégrer. Quand elle est désintégrée, on recommence l’expérience. Pour choisir l’état initial de la nouvelle expérience, on tire au hasard parmi tous les états observés jusque là (sur toutes les expériences passées). Autrement dit, si la particule se désintègre à la fin de l’étape n, X_{n+1} prend la valeur de X_K où K est un nombre aléatoire uniformément choisi entre 1 et n. Que se passe-t-il en temps long ? Ne verra-t-on plus que des états excités au bout d’un moment ? Leur proportion tendra-t-elle vers 1 ?
Machine à sous
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024
Dans un jeu vidéo, plusieurs tâches sont possibles (par exemple, tâche 1=aller battre tel monstre; tâche 2=aller chercher tel objet, etc.). À chaque fois qu’on réalise une tâche, on a une certaine probabilité de recevoir une récompense. Cette probabilité est propre à chaque tâche (par exemple, à chaque fois qu’on réalise la tâche 1, on a une probabilité p_1 d’avoir une récompense, qui sera toujours la même si on recommence la tâche 1, mais qui est différente de la probabilité de récompense de la tâche 2), et le joueur ne la connaît pas. Le fait de recevoir une récompense est indépendant d’une tâche à l’autre (au moment où l’on termine la tâche 1, tout se passe comme si le jeu lançait en l’air une pièce non-équilibrée qui aurait une probabilité p_1 de faire pile, et si elle fait pile il donne une récompense). Quelle stratégie le joueur peut-il adopter pour maximiser son gain sur le long terme ?
Le problème de Parcoursup
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024
On se pose le problème que se sont posé les concepteurs de Parcoursup : on a d’un côté N étudiants qui veulent s’inscrire à des formations, et de l’autre M places dans diverses formations. Les étudiants et les formations ont leur critères de préférences, qui leurs sont propres. À partir de là, que peut-on faire ? Quelles propriétés peut-on souhaiter exiger d’une méthode de répartition ? Peut-on trouver des méthodes qui ont ces garanties ? Que se passe-t-il si on regarde un problème à trois corps, où par exemple le but serait de former des trios en choisissant une université, un doctorant et un directeur de thèse, chacun avec ses préférences individuelles ?
Le voyageur de commerce
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024
Un voyageur doit visiter une liste de villes puis revenir à son point de départ. Étant données deux villes A et B dans la liste, on connaît le coût d’aller de A à B (ce peut être par exemple la distance, ou le prix du billet de train, ou le temps de trajet). Peut-on trouver une méthode pour choisir l’ordre dans lequel visiter les villes, de façon à minimiser le coût total du voyage ?
Palindromes
Lycée Stendhal (Milan)  2023-2024
 
Paver le plan avec des dominos et des rectangles
Lycée Stendhal (Milan)  2023-2024
 
Mots variés et mots circulaires
Lycée Stendhal (Milan)  2023-2024
 
Suite de nombres
Lycée Stendhal (Milan)  2023-2024
 
[sujet ?]
Lycée Gustave Eiffel (Dijon), Lycée Jean-Marc Boivin (Chevigny-St-Sauveur) 2023-2024
 
Le tour de la galaxie
Lycée Carnot (Dijon)  2023-2024
Dans la galaxie de Star Wa.rs, à partir d'une planète donnée, on peut en rejoindre toute autre par un passage dans l'hyperspace. Enfin presque : certains passages sont bloqués par des champs d'astéroïdes, on dit alors que ces planètes sont « distantes ». Au dép art de la planète de son choix à bord de son Faucon Millénium, Han Solo doit chercher Leia dans 5 planètes : Naboo, Aderaan, Kashyyyk, Coruscant et Dagobah. Il n'a le droit de passer qu'une seule fois par chaque planète, avant de revenir à la case du départ, les chasseurs Tie étant à ses trousses. Il aura alors fait le tour de la galaxie.
Esprit compétitif
Lycée Carnot (Dijon)  2023-2024
Jean-Bernard et sa femme Bernadette, sont à la plage et regardent les gens se baigner. Soudain, un garçon commence à crier à l'aide dans l'eau. Jean-Bernard décide de lui porter secours. Il court tout droit vers le garçon, se jette à l'eau, puis nage vers lui. Entre temps Bernadette réfléchit. Les deux se trouvent à dix mètres de l'eau, le garçon à dix mètres du rivage, 20 mètres plus à l'est.
Party linguistics
Liceo scientifico E. Curiel (Padova)  2023-2024
 
No car crash in Manhattan!
Liceo scientifico E. Curiel (Padova)  2023-2024
 
Jeux de dames
Collège Montchapet (Dijon)  2023-2024
Les dames blanches doivent occuper les places des dames noires et vice-versa.
Règles : une dame peut se déplacer vers un carré adjacent, s’il est vide. Une dame peut sauter au-dessus d’une dame adjacente vers un carré vide.
Quel est le nombre de minimal de mouvements nécessaires pour atteindre l’objectif ?
Autant de dames noires et blanches de chaque côté ou pas.
Schématisation grâce à un jeu de dames chinoises.
La cagette de pommes
Collège Montchapet (Dijon)  2023-2024
Savoir quand et comment une cagette peut être contaminée dans sa totalité. Cagettes carrées ou rectangulaires. Schématisation grâce au jeu Othello (pomme saine blanche / pomme pourrie noire)
Les calendriers
Lycée Jean Puy (Roanne)  2023-2024
 
Avion et ravitaillement
Lycée Jean Puy (Roanne)  2023-2024
 
Construction d'un pont
Lycée Jean Puy (Roanne)  2023-2024
 
Jeux de stratégie
Lycée Jean Puy (Roanne)  2023-2024
 
Cryptographie 2
Lycée Jean Puy (Roanne)  2023-2024
 
Cryptographie 1
Lycée Jean Puy (Roanne)  2023-2024
 
Special polygons
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova)  2023-2024
Consider n segments of length a and another n segments of length b.
(a) Suppose a ≠ b. Can you construct a convex polygon with 2n sides in such a way that the lengths of adjacent sides are different, but all the internal angles are equal?
What are the longest diagonals of such a polygon?

(b) A diagonal and a side of the polygon are said to be commensurable if the quotient of their lengths is rational. Study the commensurability of the diagonals with the sides when:
i. a = b;
ii. a ≠ b (try to see what happens in some specific examples).
New worlds for Pac-Man
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova)  2023-2024
Inside a regular polygon with 2k sides we must place n cherries and paths (not necessarily segments) that connect them. Each pair of paths can only cross in cherries and there can be no self-crossing.
For k = 2, 3, and 4, we want to figure out the maximum number of paths we can fit into our version of PacMan in each of the following cases.
(a) whether the sides of the polygon are barriers to the passage of PacMan;
(b) if PacMan's exit from one side [AB] of the polygon corresponds to entry into the opposite side [CD] ([AD] and [BC] being diagonals of maximum length), such that the distance from A of the exit point is the same distance from C to the entry point.
Party linguistics
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova)  2023-2024
In a certain party there are n people, each of them speaks more than one language, each language is spoken by at least two people, no two people share knowledge of more than one language. It is possible to communicate a message by passing from one person to another, translating when necessary. Every person knows how to translate between the languages he knows, but understands nothing about a language he doesn't know.

(a) Under what conditions is it possible to pass a message among everyone, from one person to another, without the same person having to participate in sharing the message more than once?
(b) Find conditions under which it is possible to guarantee that a message can circulate by exploiting all the linguistic ties existing in the party (and therefore necessarily passing through the same person as many times as the languages he knows)?
(c) If a linguistic genius comes to the party who speaks all the languages spoken in the party, how do the answers to the above… voir la suite
Manhattan without incident
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova)  2023-2024
Some vehicles move on a grid, made up of intersecting horizontal and vertical lanes, and must avoid colliding. A collision between two vehicles could occur at a node (i.e. a point of intersection between a horizontal lane and a vertical lane), if the two vehicles pass through this node at the same instant of time. Or, a collision could also happen at a point in a lane between two nodes, if two vehicles are traveling in the same lane and pass that point at the same time.
In particular, all vehicles start from the lowest horizontal lane and must reach the highest horizontal lane. Furthermore, each vehicle is assigned a vertical departure lane and a vertical arrival lane. The problem is understanding how the vehicles should be routed, so that each vehicle reaches its destination without colliding with the others.
You can reason in the following hypotheses:
• the distance between two consecutive lanes, both vertical and horizontal, is always the same, and all vehicles travel at the same speed… voir la suite
Tile circles
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova)  2023-2024
A factory produces tiles (called "regular") in the format of regular polygons with n sides (each side measuring 1). An artist wants to build “tile circles” in his artwork.
For this reason he requires that neighboring tiles share a side and there are no overlaps.
i. For which regular polygons (i.e. for which n) is it possible to close the circle?
ii. Which figures appear at the center of the work?
Jeu de pièces
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024
 
Dalles sur le chemin
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024
 
Jeu chat-Souris
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024
Ce jeu se joue sur un plateau de 21 cases, alignées, numérotées de 0 à 20.

Au départ, le chat est sur la case 1. La souris est en 20 et elle doit essayer de rejoindre son trou situé en 0.
La souris joue la première ; elle choisit pour cela l’un des entiers de 1 à 9, le raye, le soustrait de 20 et va dans la case correspondante.

Le chat choisit ensuite un entier de 1 à 9, le raye, l’ajoute à 1 et va à la case obtenue.
Ensuite chacun d’eux, à tour de rôle, choisit l’un de ses nombres disponibles, l’ajoute ou le retranche à sa case actuelle pour obtenir sa nouvelle case.

Le chat n’a pas le droit d’aller en 0. Ni le chat, ni la souris n’ont le droit de sortir du terrain.

La partie s’arrête dans l’un des trois cas suivants :

▶ Après avoir joué, le chat atteint la case où est la souris : il a gagné. (Attention : on n’arrête pas la partie quand la souris arrive sur la case du chat).
▶ La souris réussit à se placer en 0 : elle a… voir la suite
Pavages
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024
On considère un damier carré de côté 8 dont on a enlevé une case (en noir sur la figure).
Montrer qu’on peut toujours le couvrir parfaitement avec des “dalles” de la forme indiquée, quelle que soit la case enlevée au départ.
Essayer ensuite avec d’autres tailles (en particulier si la longueur du côté est une puissance de 2).








Awalé infini
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024
 
Umbrellacity
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fernand Garandeau (La Tremblade) 2023-2024
A Skycity les habitants habitent dans de grandes tours reliées entre elles par des ponts. Il est toujours possible d’aller d’une tour à l’autre en passant par une suite de ponts. Afin d’embellir leur ville, ils ont accroché des tentures colorées entre les ponts.
• Y a-t-il un lien entre le nombres de tours, le nombre de ponts et le nombre de tentures ?
• Pour un nombre de tours donné est-il possible de savoir le maximum du nombre de ponts et le maximum du nombre de tentures nécessaire ?
Mathématiques et traitement contre le cancer
Lycée Montmajour (Arles)  2023-2024
Comment améliorer les traitements contre le cancer avec des mathématiques ?
Nombres sur les grilles
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024
On dispose d'une grille comme celle donnée en exemple. Le but du jeu est de remplir toutes les cases internes de la grille par des entiers en respectant la règle suivante : chaque valeur choisie est un entier qui ne doit pas dépasser la moyenne des entiers des quatre cases adjacentes. Le jeu s'arrête quand on ne peut plus appliquer cette règle. On pose alors les deux questions suivantes :
1 : Le jeu s'arrête-t-il pour n'importe quelle grille ?
2 : Que peut-on dire des valeurs des cases internes dans le cas de l'arrêt du jeu ?

Verres d'eau
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024
On dispose sur chaque case d'un quadrillage un verre contenant une certaine quantité d'eau. A chaque étape, on peut choisir l'un des verres et verser une partie de son contenu ou le tout dans le verre situé immédiatement à droite ou en-dessous. Peut-on avoir, après un certain nombre d'étapes, tous les verres remplis de la même quantité d'eau ?
Le jeu des sommes interdites
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024
On dispose d'un certain nombre b de boîtes et de n jetons numérotés de 1 à n.
Le jeu consiste à répartir par ordre croissant les jetons dans les boîtes, en respectant la règle suivante : on ne peut placer un jeton dans une boîte si son numéro est égal à la somme des numéros de deux jetons dans cette même boîte.
Quel est le plus grand nombre n de jetons qu'on peut placer dans les boîtes ? On peut commencer par le cas de deux boîtes c'est-à-dire b=2.

Jeu de mots
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024
On commence notre jeu avec un mot constituée uniquement des lettres O et H. Sous chaque paire de lettres consécutives on écrit la lettre O ou la lettre H en respectant les trois règles suivantes :
Règle 1 : si la paire de lettres est O O elle est remplacée par O
Règle 2 : si la paire de lettres est H H elle est remplacée par O
Règle 3 : si la paire de lettres est O H ou HO elle est remplacée par H
Avec par exemple O H O O, en appliquant ces règles, on obtient une deuxième ligne H H O. En continuant, on obtient une troisième ligne O H et enfin le jeu se termine par H.
On remarque que ce jeu se termine avec en tout autant de H que de O (5 pour chaque lettre). On dit dans ce cas que le mot O H O O est équitable.
Étant donné un entier n, peut-on toujours trouver un mot équitable de longueur n ?

Parties Bi-Dis
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024
Une partie du plan est dite Bi-dis si les distances entre ses différents points ne prennent que deux valeurs. Que peut-on dire du nombre de points d'une partie Bi-dis ?
Deux valeurs
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024
Que peut-on dire d'une partie du plan dont les distances entre ses différents points ne prennent que deux valeurs ?

Parties Dis-Ent
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024
Une partie du plan est dite Dis-ent si les distances entre ses différents points sont des entiers naturels.
1. Que peut-on dire des polygones dont les sommets forment une partie Dis-ent ?
2. Peut-on trouver des parties Dis-ent infinies ?
La compagnie Matexcourrier
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024
La compagnie Mathexcourrier a décidé que le prix d'envoi d'un objet est proportionnel à son profil. Pour une enveloppe, le profil est la longueur de son contour. Si un objet a la forme d'un parallélépipède, alors son profil est la somme de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur. Caroline souhaite envoyer par Mathexcourrier une lettre et un paquet. Elle pense faire des économies en mettant sa lettre dans une enveloppe avec un contour moins long et son paquet dans une boîte d'un profil plus petite. Peut-elle y arriver ?


Mosaïque de triangles
Collège Gisèle Halimi (Mérignac), Collège Bourran (Mérignac) 2023-2024
On dessine une spirale de triangles équilatéraux, de plus en plus grands. On se demande dans quel triangle se trouve un point situé à 20m à droite, et 10m en haut.
Rugby
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024
 
Paradoxe d'anniversaires
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024
Le paradoxe d'anniversaires est un paradoxe mettant en œuvre la probabilité d'avoir la même date de naissance qu'une autre personne.
Boîte de conserve
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024
Comment construire une boîte de conserve avec un minimum de métal possible avec une boîte de conserve de 850 mL.
1000ème chiffre après la virgule
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024
Il faut trouver des moyens simples et explicites pour calculer le 1000ème chiffre après la virgule.
Boite de chocolats
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024
La boite de chocolats doit être carrée, les chocolats doivent mesurer 1 cm de coté et sont des carrés. On doit mettre le plus possible dans la boîte de chocolats sans les superposer ni les découper.
Fabrique de puzzles
Collège Georges Pompidou (Cajarc), Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2023-2024
On veut fabriquer des puzzles. A partir de pièces carrées de coté fixé, on est autorisé à modifier les cotés en enlevant un triangle ou en ajoutant un triangle de sorte que les pièces s'emboîtent parfaitement.
Combien y a-t-il de pièces différentes si on n'autorise ni rotation, ni retournement ? Même question si on n'autorise que les rotations (et pas les retournements)? Et si on autorise rotation et retournement?
Un puzzle de taille mxn est un ensemble de mn pièces qu'on peut assembler en forme de rectangle de longueur m centimètres et de largeur n centimètres, sans tourner ni retourner les pièces et que les cotés plats soient uniquement sur les bords.
Un puzzle est unique s'il y a une seule façon d'assembler les pièces (à échange de pièces identiques près).
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mx1, pour tout m?
Et un puzzle non unique?
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mxn, pour tout m et tout n?
Et un puzzle non unique… voir la suite
Construire des nombres entiers sous contrainte
Collège Georges Pompidou (Cajarc), Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2023-2024
Prenons 5 fois le nombre 5.
Avec les opérations habituelles (+, -, x, :) et en utilisant les 5 nombres 5, comment obtenir le nombre 24 ?
Quels sont tous les nombres entiers que l'on peut obtenir en utilisant 5 fois le nombre 5 avec les opérations habituelles ? On observe deux catégories de nombres.
Si on fait la même chose avec 6 fois le nombre 6, qu'est-ce qu'on remarque ? En généralisant à n fois le nombre entier n, comment décrire toutes les possibilités ?
Les jours fériés tombent-ils souvent le week-end ?
Collège Georges Pompidou (Cajarc), Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2023-2024
Quels sont les jours fériés du calendrier 2023 ?
On ne va garder que les 8 jours fériés qui changent de jour de la semaine chaque année.
Sur les 8 jours fériés de cette année, combien sont un samedi ou un dimanche ?
Pour les années suivantes comment prévoir ?
Est-il possible qu'aucun jour férié ne tombe sur un samedi ou dimanche ?
Et combien au maximum ?
A partir des informations de 2023, comment avoir ces réponses pour n'importe quelle année future ?
Problème de Monty Hall
École Française Jules Verne de Riga  2023-2024
 
Les mosaiques de Thiele
Lycée français Jean Giono (Turin)  2023-2024
Sur les traces de l'astronome et mathématicien danois Thorvald Thiele nous explorerons une façon de générer de très beaux motifs de mosaïques au moyen du concept de résidu quadratique dans l’ensemble des entiers de Gauss...
La calculight
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024
On considère une machine à calculer qui ne prend en compte que des entiers positifs et qui possède trois touches :
— la touche « ×3 » qui permet de multiplier un nombre par 3,
— la touche« ×3 + 2 » qui permet de multiplier un nombre par 3 puis d’ajouter 2 au résultat,
— la touche « : 2 » qui permet de diviser par deux un entier pair.
A l’aide de cette machine, on construit une suite de nombres entiers de la façon suivante :
1. On entre le chiffre 4,
2. On choisit une des touches proposées par la machine et on obtient un nouveau nombre entier,
3. On entre ce nouveau nombre entier et on itère le procédé à partir de l’étape 2.
Tout nombre obtenu par ce procédé est dit atteignable.
Exemples de questions à se poser :
1. Vérifier que 12 est atteignable.
2. Le nombre 2023 est-il atteignable ?
3. Existe-t-il des entiers non atteignables ?
4. Explorer d’autres situations : On change le nombre de départ, on change les touches… voir la suite
Les derniers chiffres
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024
a) Que peut-on dire de derniers chiffres dans la suite de carrés des entiers consécutifs,
1^2 = 1×1 = 1, 2^2 = 2×2 = 4, 3^2 = 3×3 = 9, 4^2 = 4×4 = 16, 5^2 = 5×5 = 25, ...
(b) Que peut-on dire de derniers chiffres dans la suite de cubes des entiers consécutifs,
1^3 = 1 × 1 × 1 = 1, 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8, 3^3 = 3 × 3 × 3 = 27, 4^3 = 4 × 4 × 4 = 64, ...
(c) La question analogue pour la suite 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, 2 × 2 × 2 × 2, ...
(d) La question analogue pour la suite 3, 3 × 3, 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 3 × 3, ...
Au marché
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024
(a) Un paysan doit livrer sa récolte de blé (90 sacs) au marché de la ville voisine, distante de 50 km. Pour cela, il fait appel à un charretier. La charrette de celui-ci peut transporter 50 sacs. Le charretier demande comme salaire un sac de blé pour chaque kilomètre parcouru à l’aller. Heureusement, il ne demande rien pour le trajet retour.
Combien le paysan va-t-il pouvoir apporter de sacs au marché ?
(b) On pose un problème analogue pour plusieurs paysans, chacun avec 90 sacs de blé à livrer à la ville distante de 50 km.
Peut-on éclairer la maison entière ?
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024
Un électricien inexpérimenté se charge de l’installation d’une maison et commet des erreurs qui entraînent un allumage hétéroclite des pièces : lorsque l’on allume la lumière dans une pièce, on change l’état de l’éclairage dans toutes les pièces voisines à celle-ci,(d’éteint à allumé et d’allumé à éteint). Les pièces en diagonale ne sont pas considérées comme adjacentes et ne sont donc pas concernées par le problème cité ci-dessus. Un problème se pose alors : comment allumer toutes les pièces de la maison sachant que les pièces sont au départ toutes éteintes. On peut considérer des maisons rectangulaires ainsi que des maisons de formes diverses.
Que des carrés et des rectangles
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024
(a) On considère une grille carrée de taille n x n et on veut compter les carrés plus petits que contient cette grille. Par exemple, la grille 3 x 3 contient 9 carrés de taille 1 x 1 et 4 carrés de taille 2 x 2. Ainsi, au total, notre grille 3 x 3 contient 9+4+1 = 14 carrés.
De façon plus générale : combien de carrés de taille k x k contient une grille carrée de taille n x n ? Combien de carrés contient au total une grille n x n ?
(b) Combien de rectangles de taille k x l contient une grille carrée de taille n x n ? Combien de rectangles au total ? On peut se poser la même question pour les grilles rectangulaires de taille n x m.
La ruche
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024
Une ruche d’abeilles est un pavage du plan par des polygones, c’est à dire que l’on dispose des polygones côte à côte de sorte à remplir le plan. On considère que la ruche est construite à partir d’un polygone. Afin de consommer le moins de cire possible pour construire la ruche, les abeilles veulent maximiser le rapport R =aire/périmètre.
Quel est le meilleur pavage composé des polygones réguliers identiques?
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure. On peut envisager aussi un pavage composé des polygones réguliers différents.
Coloriage de figures
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024
(a) Combien de carrés différents peut-on constituer si ses côtés sont colorés à l’aide de deux couleurs (ou trois ou quatre couleurs). Les deux carrés colorés sont considérés comme identiques si, en tournant l’un d’entre eux, on trouve l’autre.
(b) On peut poser une question analogue pour un rectangle au lieu d’un carré.
(c) Combien de cubes 1 x 1 x 1 différents peut-on constituer si ses faces sont colorées à l’aide de deux couleurs ?
Les couleurs de l'automne
Collège Villey Desmeserets (Caen), Lycée Malherbe (Caen) 2023-2024
On considère un arbre de mathématicien : de chaque nœud, il y a deux branches qui partent. Les extrémités finales des branches sont les feuilles de l’arbre (on peut ou non considérer la racine comme une feuille). On peut colorier les branches de cet arbre avec trois couleurs, de sorte que chaque nœud soit la jonction de trois branches de couleurs différentes.
Sur cet arbre colorié, on part de la racine et on parcourt toutes les feuilles dans l’ordre des aiguilles d’une montre : ceci nous donne une séquence avec les couleurs rencontrées. Maintenant, pour une séquence de couleurs donnée, on peut essayer de retrouver un arbre ayant cette séquence... s’il en existe ! Pour un tout petit arbre avec seulement deux feuilles, on devine que les seules séquences possibles sont les séquences ayant deux couleurs différentes, et on voit bien que toutes les séquences ne correspondent pas nécessairement à un arbre.
On aimerait décrire les mots pour lesquels il existe un arbre ou pour lesquels il n’en existe… voir la suite
Le mouton
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne)  2023-2024
Un mouton broute toute l'herbe à laquelle il peut accéder. On suppose qu'on peut limiter ses mouvements en l'attachant à une ou plusieurs clôtures Quelle région va-t-il brouter ?
Téléportation
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne)  2023-2024
Une ville vient d'acquérir un téléporteur qui permet de relier directement deux points P et Q. On cherche à se rendre d'un point A à un point B par le trajet le lus court possible. Selon les situations, faut-il utiliser le téléporteur ou pas ?
Mon meilleur ennemi
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne)  2023-2024
"Ton tableau est tombé, mais si tu veux je peux le raccrocher avec deux clous". Méfiez-vous de votre ami : en réalité, il a en tête d'attacher la ficelle de telle sorte que si n'importe lequel des deux clous se décroche, le tableau tombe quand même.
Chasse au trésor
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne)  2023-2024
"Mon trésor est à égale distance des deux palmiers et de l'océan"
Numerobis
Collège Edmond de Goncourt (Pulnoy)  2023-2024
 
Halloween
Collège Edmond de Goncourt (Pulnoy)  2023-2024
 
Étang
Collège Edmond de Goncourt (Pulnoy)  2023-2024
 
Chameau en promenade
Collège Anatole France (Nœux-les-Mines)  2023-2024
Un chameau vit seul dans le désert. Sa principale activité consiste en des promenades sur la route rectiligne qui part de chez lui. Mais c’est un chameau un peu particulier : pour pouvoir marcher, il doit s’alimenter en permanence. De plus, il se nourrit exclusivement de pâte d’amande, et 1kg de pâte d’amande lui permet de marcher 10km. Et enfin, il ne peut jamais transporter avec lui plus de 1kg de pâte d’amande. Le sujet consiste à étudier la distance maximale que peut effectuer le chameau selon la quantité de pâte d'amande dont il dispose chez lui sachant qu'il doit toujours pouvoir revenir chez lui (afin de ne pas mourir de faim dans le désert).
Les pavages avec des polyminos
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024
On s'intéresse à des pavages que l'on peut former avec des triminos coudés (trois petits carrés qui ne sont pas alignés - on dit aussi triomino).
On constate que si l'on agrandit un trimino par un facteur 2, alors on peut le recouvrir sans chevauchement avec 4 triminos en les plaçant convenablement.
Est-ce encore possible si on l'agrandit par un facteur 3 ? 37 ? 173 ? n ?
Les circuits électriques
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024
On dispose d'une très grande collection de résistances qui sont toutes identiques (1 ohm). Pour fabriquer de nouvelles sortes de résistance, on peut soit placer des résistances en série, ou bien en parallèle.
Lorsque l'on place deux résistances R1 et R2 en série, la nouvelle résistance obtenue a pour valeur R1+R2. Lorsque l'on place deux résistances R1 et R2 en parallèle, la nouvelle résistance obtenue a pour valeur R1 R2 / (R1+R2).
Quelles valeurs de résistances peuvent être obtenues avec nos résistances de 1 ohm ?
Est-il possible de fabriquer une résistance qui aurait pour valeur 69/17 ohm ?
Si oui, comment utiliser le moins de résistances et quel est ce minimum ?
Nombres écartés
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024
On considère des paires de nombres que l'on aligne de la façon suivante : 11423243.
On constate que les "1" sont placés de sorte que la distance entre leurs emplacements soit égale à 1, la distance entre les emplacements des "2" est égale à 2, et ainsi de suite.
Peut-on toujours créer de telles suites lorsque l'on considère les paires de nombres de 1 jusqu'à n ?
Les piliers
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024
Pour fabriquer un immeuble, on a besoin de piliers. La société qui nous livre des piliers nous a donné des piliers qui ont tous des hauteurs différentes : 1, 2, 3,..., n.
Peut-on fabriquer deux colonnes qui arrivent à la même hauteur pour poser notre premier étage ?
On veut maintenant poser nos piliers de sorte qu'ils parviennent à une même hauteur plusieurs fois d'affilée pour poser plusieurs étages. Est-ce possible ?
Pour le prochain immeuble, il faut trois piliers. Puis le troisième immeuble contiendra quatre piliers. Peut-on généraliser ce qui a été trouvé avec deux piliers ?
Et si maintenant la société nous livre des hauteurs qui ne sont pas des entiers consécutifs (par exemple : les entiers impairs ; les nombres carrés ; les nombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15, 21, etc.) ?
Les circuits automobiles de Catan
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024
On utilise des pièces qui ont la forme d'hexagones réguliers (tous de même dimension) pour fabriquer des circuits fermés.
Les hexagones peuvent être de trois sortes : un morceau de route qui relie deux côtés adjacents (type 1), un morceau de route qui relie deux côtés séparés par un seul côté (type 2), un morceau de route qui relie deux côtés opposés (type 3). Le but est de construire un circuit avec un certain nombres de pièces de chaque sorte.
Jeu des bâtonnets
Association Science Ouverte (Drancy)  2023-2024
Deux joueurs A et B jouent avec un bâton de longueur 𝑛 entière, au moins égale à deux (les longueurs sont en centimètres). Le joueur A casse le bâton en deux parties de longueurs entières mais différentes. Ensuite, le joueur B casse l’un des deux bâtons en deux parties de longueurs entières non nulles et distinctes.
Les deux joueurs jouent ainsi alternativement jusqu’à ce que ce soit devenu impossible. Alors, le bâton initial est cassé en 𝑛1 bouts de 1 cm et 𝑛2 bouts de 2 cm.
- Si 𝑛1 > 𝑛2, le dernier joueur ayant joué est vainqueur.
- Si 𝑛1 < 𝑛2, le joueur n’ayant pas joué en dernier est vainqueur.
- Si 𝑛1 = 𝑛2, la partie est nulle.
Est-ce que le jeu se termine nécessairement et quels sont alors les nombres minimum et maximum d’étapes en lesquels il peut terminer ?
Supposons que A et B jouent au mieux. Vaut-il mieux jouer en premier ou en second ?
Distances entières entre des points
Association Science Ouverte (Bobigny)  2023-2024
Pour tout entier naturel non nul n, on appelle ℰn l’ensemble de toutes les figures d’un plan euclidien composées de n points qui sont tous à distance entière les uns des autres.
Pour 𝑛 = 1,2,3, 4 (voire plus), étudier et décrire ℰn.