Les sujets des ateliers MATh.en.JEANS
Un labyrinthe aléatoire
Lycée en Forêt (Montargis) 2023-2024Le labyrinthe aléatoire : il y a n couloirs à l'entrée (ici, n = 10). Dans la première partie du labyrinthe, chaque couloir d'entrée est relié à un couloir de sortie choisi aléatoirement (2 couloirs d'entrée peuvent être reliés au même couloir de sortie). Chacune des k parties du labyrinthe, représentée par une boîte rose, est construite de cette façon, en reliant chaque entrée à une sortie aléatoire. Sur la figure, k = 4. Bob part du couloir 1, Alice du couloir 10.
Quelle est la probabilité qu'ils sortent par le même couloir ? Que se passe-t-il pour de longs labyrinthes ? Et quelle est la probabilité que Caroline, partant du couloir 5, sorte avec Alice et Bob ?
Quelle est la probabilité qu'ils sortent par le même couloir ? Que se passe-t-il pour de longs labyrinthes ? Et quelle est la probabilité que Caroline, partant du couloir 5, sorte avec Alice et Bob ?
Jeu de la vie
Lycée Montmajour (Arles) 2023-2024Qu'est-ce que le jeu de la vie ? Quels sont les règles ? Déterminer des configurations. Création de jeux autour des règles du jeu de la vie.
Jeu de Hex
Collège Anne Frank (Miribel) 2023-2024Le jeu de Hex est un jeu de plateau à deux joueurs, où le plateau a des cases hexagonales. Les joueurs ont chacun des pions d'une même couleur (blancs ou noirs), qu'ils posent à tour de rôle. Le jeu consiste, pour celui qui a les pions blancs, à traverser le plateau avec une ligne de ses pions ; même chose pour le joueur ayant les pions noirs. Existe-t-il une bonne stratégie, voire une stratégie toujours gagnante, pour l'un des joueurs ?
Les gardiens de musée
Collège Anne Frank (Miribel) 2023-2024Un musée comporte un certain nombre de salles, certaines communiquant entre elles, d'autres non. On place dans certaines salles du musée des gardiens ; chaque gardien surveille sa propre salle, ainsi que les salles communiquant avec elle. Quel nombre minimal de gardien faudra-t-il pour qu'une bande de voleurs, même bien organisée, échoue à entrer dans le musée sans être vue ?
Géométrie d'étoiles
Collège Anne Frank (Miribel) 2023-2024Le point de départ est un solide en forme d'étoile, qu'il s'agit d'étudier sous toutes ses coutures... et pourquoi pas le démonter pour construire une deuxième étoile ?
Galettogramme
Collège Anne Frank (Miribel) 2023-2024On considère une galette découpée en un certain nombre de parts, et dans laquelle se trouvent un certain nombre de fèves. Un galettographe, appareil futuriste très sophistiqué, permet de détecter le nombre de fèves contenues dans chaque triplet de parts voisines. Cela permet-il de trouver la position exacte des fèves ?
Dobble
Collège de Mios, Collège Gaston Flament (Marcheprime) 2023-2024Jeu de la vie
Collège de Mios, Collège Gaston Flament (Marcheprime) 2023-2024Peut-on recenser des cigognes ou des tortues ?
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2023-2024La méthode « Capture-Marquage-Recapture » ou CMR désigne une méthode statistique couramment utilisée en écologie pour estimer la taille d’une population animale :
Une partie de la population est capturée, marquée et relâchée.
Lors d’une deuxième session, un autre échantillon est capturé et la proportion d’individus marqués dans cet échantillon est notée. On peut alors estimer la taille de la population
Dans un premier temps : votre projet consiste à étudier de façon détaillée le fonctionnement et la fiabilité de la méthode CMR.
Dans le cas d’espèces rares, le nombre d’individus recapturés peut être très faible, voir nul… On pourra dans un second temps se demander alors comment adapter la méthode CMR afin de pallier cette éventualité
Une partie de la population est capturée, marquée et relâchée.
Lors d’une deuxième session, un autre échantillon est capturé et la proportion d’individus marqués dans cet échantillon est notée. On peut alors estimer la taille de la population
Dans un premier temps : votre projet consiste à étudier de façon détaillée le fonctionnement et la fiabilité de la méthode CMR.
Dans le cas d’espèces rares, le nombre d’individus recapturés peut être très faible, voir nul… On pourra dans un second temps se demander alors comment adapter la méthode CMR afin de pallier cette éventualité
Dynamique majoritaire
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2023-2024Dans une communauté ayant une décision à prendre, par exemple quant à la construction d’une Maison des mathématiques, un vote doit avoir lieu. Les électeurs sont conciliants : chacun a un avis, OUI ou NON, mais il est prêt à y renoncer si, parmi ses connaissances, plus de la moitié des avis sont contraires au sien.
Pendant plusieurs jours, après un tour initial, un des électeurs, choisit au hasard, consulte toutes ses connaissances et change d’avis le lendemain sur la construction de cette Maison pour s’ajuster à l’avis majoritaire de ses connaissances consultées la veille. Le jour suivant un nouvel électeur consulte ses amis pour savoir si il va changer d’avis, ou non.
En cas d’égalité entre les pour et les contre parmi ses voisins, l’électeur garde le même avis pour le lendemain.
Que va-t-il se passer ? Et si chaque jour tous les électeurs consultent leurs amis pour changer ou non d’avis ?
Pendant plusieurs jours, après un tour initial, un des électeurs, choisit au hasard, consulte toutes ses connaissances et change d’avis le lendemain sur la construction de cette Maison pour s’ajuster à l’avis majoritaire de ses connaissances consultées la veille. Le jour suivant un nouvel électeur consulte ses amis pour savoir si il va changer d’avis, ou non.
En cas d’égalité entre les pour et les contre parmi ses voisins, l’électeur garde le même avis pour le lendemain.
Que va-t-il se passer ? Et si chaque jour tous les électeurs consultent leurs amis pour changer ou non d’avis ?
Étiquettes
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2023-2024On cherche à imprimer des nombres sur des étiquettes.
On veut avoir tous les nombres mais faire des économies d’impression. Par exemple si le nombre n’a qu’un seul chiffre on n’imprimera qu’une seule étiquette pour le 6 et le 9 car en retournant l’étiquette 6 on obtient l’étiquette 9.
D’autres nombres « s’échangent »-ils ?
Combien devra-t-on imprimer d’étiquettes si on veut obtenir tous les nombres à 2 chiffres ? à 3 chiffres ? et plus généralement ?
On veut avoir tous les nombres mais faire des économies d’impression. Par exemple si le nombre n’a qu’un seul chiffre on n’imprimera qu’une seule étiquette pour le 6 et le 9 car en retournant l’étiquette 6 on obtient l’étiquette 9.
D’autres nombres « s’échangent »-ils ?
Combien devra-t-on imprimer d’étiquettes si on veut obtenir tous les nombres à 2 chiffres ? à 3 chiffres ? et plus généralement ?
Détecteurs d'incendies
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2023-2024Le projet gigantesque du BER (aéroport berlinois dont la construction a connu près de 9 ans de retard) montre qu'il n'est pas simple de construire un bâtiment en tenant compte de toutes les contraintes de sécurité et notamment de la sécurité contre les incendies.
Dans ce projet vous aborderez d’un point de vue mathématique la question de la place optimale des détecteurs d’incendie dans un bâtiment. Vous pourrez :
1. étudier la modélisation de cette situation par des graphes.
2. trouver des critères pour décider si un bâtiment est protégé ou non.
3. quantifier le niveau de protection.
4. trouver des moyens pour améliorer la protection d'un bâtiment.
Dans ce projet vous aborderez d’un point de vue mathématique la question de la place optimale des détecteurs d’incendie dans un bâtiment. Vous pourrez :
1. étudier la modélisation de cette situation par des graphes.
2. trouver des critères pour décider si un bâtiment est protégé ou non.
3. quantifier le niveau de protection.
4. trouver des moyens pour améliorer la protection d'un bâtiment.
GPS discret
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2023-2024Le GPS est un outil très important dans le monde réel. Il suffit de trois sources de signaux distincts pour calculer de facon exacte (en théorie) sa position. Mais qu’est-ce qui se passe, si on considère non pas l’espace, mais un graphe discret. Combien de sources de signaux faut-il alors ?
Le but de ce projet et donc de décrire un GPS discret qui permettra à des robots de se situer sur un graphe.
Pour cela, on se propose de modéliser la situation, d‘étudier des graphes particuliers, de trouver des résultats généraux et finalement d‘étudier des applications dans la vie quotidienne.
Le but de ce projet et donc de décrire un GPS discret qui permettra à des robots de se situer sur un graphe.
Pour cela, on se propose de modéliser la situation, d‘étudier des graphes particuliers, de trouver des résultats généraux et finalement d‘étudier des applications dans la vie quotidienne.
Saute mouton
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2023-2024Le principe est très simple: on a une longue ligne de "cases". Dans chaque case, il y a soit un enfant soit il n'y en a pas. Ensuite, à chaque tour, de gauche à droite, chaque enfant fait des sauts de moutons jusqu'à arriver à une case vide. Et ainsi de suite.
Voici un exemple avec le déplacement du 1er enfant (celui situé au départ le plus à gauche), puis du 2e enfant (celui situé au départ en 2e position à partir de la gauche).
Que peut-on dire de cette dynamique? Autrement dit, comment évolue la répartition des n enfants placés au départ ?
On pourra commencer par dessiner ou programmer pour observer différentes répartitions et leurs dynamiques respectives, puis faire des conjectures.
Voici un exemple avec le déplacement du 1er enfant (celui situé au départ le plus à gauche), puis du 2e enfant (celui situé au départ en 2e position à partir de la gauche).
Que peut-on dire de cette dynamique? Autrement dit, comment évolue la répartition des n enfants placés au départ ?
On pourra commencer par dessiner ou programmer pour observer différentes répartitions et leurs dynamiques respectives, puis faire des conjectures.
Nombres de Perrin
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2023-2024Conjecturer une propriété puis se demander : Est-elle vraiment toujours vraie ? Peut-on la démontrer ?
Canons
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2023-2024Nous partageons tous le souvenir de chants en canons exécutés en classe avec plus ou moins de succès. (Frère Jacques, Vent frais…)
Dans un canon : plusieurs voix jouent le même motif mais décalé dans le temps.
Dans ce sujet, nous vous proposons de vous intéresser à des canons « rythmiques » obtenus par exemple en tapant dans les mains ou sur un instrument de percussion.
Une première recherche (mais il y en aura bien d’autres…) : construire un canon rythmique à quatre voix de telle sorte qu’à chaque temps une note et une seule soit jouée.
Dans un canon : plusieurs voix jouent le même motif mais décalé dans le temps.
Dans ce sujet, nous vous proposons de vous intéresser à des canons « rythmiques » obtenus par exemple en tapant dans les mains ou sur un instrument de percussion.
Une première recherche (mais il y en aura bien d’autres…) : construire un canon rythmique à quatre voix de telle sorte qu’à chaque temps une note et une seule soit jouée.
Créer une IA
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2023-2024Tout le monde en parle… Mais qu’entend-on vraiment par « intelligence artificielle » ? Afin d’être capable de répondre à cette question nous vous proposons de programmer votre propre intelligence artificielle de A à Z en n’utilisant des outils informatiques basiques tels que le langage Python et ses bibliothèques de mathématique (ex. Numpy).
Votre défi sera donc de programmer une AI et d’initier votre public à ce que l’on entend par « intelligence artificielle ».
Votre défi sera donc de programmer une AI et d’initier votre public à ce que l’on entend par « intelligence artificielle ».
Le jeu Set
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2023-2024Existe-il nécessairement un SET à chaque tour du jeu ?
Ombre d'un cube
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2023-2024Imaginons un simple cube et son ombre portée sur un plan. Une expérience : Faisons tourner ce cube dans l’espace de façon aléatoire.
Quelle forme prend alors cette ombre ?
Quelle est alors l’aire de cette ombre ?
Si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois. Quelle aire obtiendra-t-on en moyenne ?
Ce sont quelques exemples de questions que vous pourrez vous poser, mais il y en aura d’autres…
Quelle forme prend alors cette ombre ?
Quelle est alors l’aire de cette ombre ?
Si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois. Quelle aire obtiendra-t-on en moyenne ?
Ce sont quelques exemples de questions que vous pourrez vous poser, mais il y en aura d’autres…
Castells de a
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Si a est un nombre strictement positif, quel sens pourraient avoir les empilements infinis tels que √(a+√(a+√(a+…))).
Enigma
Lycée Caroline Aigle (Nort-sur-Erdre) 2023-2024La machine Enigma est une machine à chiffrer les messages utilisée par l'armée Allemande pendant la seconde guerre mondiale.
1. Expliquer le fonctionnement de la machine Enigma ;
2. Programmer la machine Enigma en Python ;
3. Étudier et programmer une technique de cryptographie asymétrique.
1. Expliquer le fonctionnement de la machine Enigma ;
2. Programmer la machine Enigma en Python ;
3. Étudier et programmer une technique de cryptographie asymétrique.
La plaquette de chocolat empoisonnée
Lycée Caroline Aigle (Nort-sur-Erdre) 2023-2024Deux personnes mangent chacune leur tour un certain nombre de carrés d'une plaquette de chocolat en enlevant à chaque fois le secteur rectangulaire comprenant le coin en haut à droite de la plaquette (i.e. tous les carrés en haut à droite à partir du carré choisi). Le carré en bas à gauche est empoisonné. La question est la suivante : peut-on trouver une stratégie pour être sûr de ne pas être celui qui mangera ce dernier carré ?
1. Peut-on trouver une stratégie dans le cas d'une plaquette carrée ?
2. Même question dans le cas d'une plaquette de taille 2 x n où n>2
3. Même question dans le cas d'une plaquette de taille 2 x infini.
4. Même question dans le cas d'une plaquette quelconque (finie).
1. Peut-on trouver une stratégie dans le cas d'une plaquette carrée ?
2. Même question dans le cas d'une plaquette de taille 2 x n où n>2
3. Même question dans le cas d'une plaquette de taille 2 x infini.
4. Même question dans le cas d'une plaquette quelconque (finie).
En route vers le chaos
Lycée Caroline Aigle (Nort-sur-Erdre) 2023-2024On considère un nombre réel a > 0, et on fixe un réel x_0. On construit alors une suite de nombres en calculant, pour n entier, x(n + 1) = 1 -a(x(n))². Pour des valeurs de a proches de zéro, on peut voir assez facilement que la suite de nombres se comporte très simplement. Plus a augmente, plus ça se complique, pour arriver à une situation chaotique. On se propose d'essayer de tester ce phénomène numériquement, grâce à un calcul sur ordinateur, et de justifier ensuite certain phénomènes observés.
Fractales : de Sierpinski à Julia
Lycée Caroline Aigle (Nort-sur-Erdre) 2023-2024La notion de fractale a été définie par le mathématicien Benoît Mandelbrot. On se propose dans ce sujet d'étudier certaines des fractales suivantes :
1. Le flochon de Von Koch ;
2. Le triangle de Sierpinski ;
3. L'ensemble de Julia et de l'ensemble de Mandelbrot
1. Le flochon de Von Koch ;
2. Le triangle de Sierpinski ;
3. L'ensemble de Julia et de l'ensemble de Mandelbrot
Morpion généralisé
Lycée Caroline Aigle (Nort-sur-Erdre) 2023-20241. On considère un jeu de morpion avec une grille 3x3. Les joueurs jouent tour à tour en plaçant, pour l'un une croix et pour l'autre un cercle. Le gagnant est le premier joueur à avoir formé une colonne, une ligne ou une diagonale constitué de trois de ses symboles. Si toute la grille est remplie mais que personne n'a réussi à obtenir une telle configuration, la partie est nulle et les joueurs sont donc à égalité. On se demande alors s'il existe une stratégie gagnante à coup sûr ou une stratégie permettant à minima d'être sûr de ne pas perdre. L'existence d'une telle stratégie dépend-elle du joueur qui commence à jouer ?
2. On généralise à présent la situation précédente et on considère une grille constituée de 9 morpions placés comme dans une grille de sudoku (3 par 3). On joue alors de la façon suivante :
(a) Le premier joueur joue dans une des 81 cases, qui appartient à un des 9 morpions.
(b) Le deuxième joueur doit alors jouer dans le morpion… voir la suite
2. On généralise à présent la situation précédente et on considère une grille constituée de 9 morpions placés comme dans une grille de sudoku (3 par 3). On joue alors de la façon suivante :
(a) Le premier joueur joue dans une des 81 cases, qui appartient à un des 9 morpions.
(b) Le deuxième joueur doit alors jouer dans le morpion… voir la suite
Recouvrir l'icosaèdre avec des chapeaux
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024L'icosaèdre est un des cinq polyèdres réguliers de Platon (pour chacun d'eux, chaque face est un même polygone régulier, et tous les sommets ont exactement la même forme).
L'icosaèdre est le polyèdre composé de 20 triangles équilatéraux collés comme ceci : à un sommet de l'icosaèdre se rejoignent 5 triangles équilatéraux. Si on considère uniquement ces cinq triangles, cela constitue une sorte de chapeau.
L'icosaèdre est le polyèdre composé de 20 triangles équilatéraux collés comme ceci : à un sommet de l'icosaèdre se rejoignent 5 triangles équilatéraux. Si on considère uniquement ces cinq triangles, cela constitue une sorte de chapeau.
Nombres palindromes
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024Les mots « gag », « non », « elle », « rotor », « ressasser » ont une propriété qui saute aux yeux : on peut les lire de droite à gauche aussi bien que de gauche à droite. On dit que ce sont des palindromes : « ressasser » est le plus long mot palindrome en français.
Si on néglige les blancs, les accents, les majuscules et la ponctuation, il devient possible de composer des phrases et même de longs textes palindromiques. Voici quelques exemples de phrases :
• Élu par cette crapule. (Marcel Duchamp)
• Noël a trop par rapport à Léon. (Sylvain Viart)
• Rue Verlaine gela le génial rêveur. (Jacques Perry-Salkow)
• Ésope reste ici et se repose. (Maître Capelo)
Le mathématicien préfère envisager les nombres palindromes. En trouver est facile puisque 0 et toute suite de chiffres ne commençant pas par 0 représente un nombre en base 10 et qu'on peut donc sans difficulté en écrire qui soient des palindromes : 242, 10001 ou 12321.
Voici le début de la liste infinie… voir la suite
Si on néglige les blancs, les accents, les majuscules et la ponctuation, il devient possible de composer des phrases et même de longs textes palindromiques. Voici quelques exemples de phrases :
• Élu par cette crapule. (Marcel Duchamp)
• Noël a trop par rapport à Léon. (Sylvain Viart)
• Rue Verlaine gela le génial rêveur. (Jacques Perry-Salkow)
• Ésope reste ici et se repose. (Maître Capelo)
Le mathématicien préfère envisager les nombres palindromes. En trouver est facile puisque 0 et toute suite de chiffres ne commençant pas par 0 représente un nombre en base 10 et qu'on peut donc sans difficulté en écrire qui soient des palindromes : 242, 10001 ou 12321.
Voici le début de la liste infinie… voir la suite
Pavages du plan
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024On dit qu'une figure F pave le plan, si en prenant des copies de la figure (toutes de même taille) on peut recouvrir le plan sans laisser de vide et sans que deux copies se chevauchent.
Le jeu de la vie
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024Voir le Jeu de la vie : http://fr.wikipedia.org/wiki/Jeu_de_la_vie
Le sujet peut s'étudier à la main (au début) mais l'utilisation du logiciel gratuit Golly
(http://golly.sourceforge.net/ ) permettra d'aller plus loin.
Le sujet ne demande pas de connaissances particulières (sauf les règles du jeu), il faut juste savoir
imaginer et combiner des configurations en tentant de deviner ce qui se passe.
Le sujet conduit à des raisonnements combinatoires et de dénombrements, à un travail d'imagination
pour modifier, associer et transformer des résultats déjà obtenus en nouveaux résultats.
Le sujet peut s'étudier à la main (au début) mais l'utilisation du logiciel gratuit Golly
(http://golly.sourceforge.net/ ) permettra d'aller plus loin.
Le sujet ne demande pas de connaissances particulières (sauf les règles du jeu), il faut juste savoir
imaginer et combiner des configurations en tentant de deviner ce qui se passe.
Le sujet conduit à des raisonnements combinatoires et de dénombrements, à un travail d'imagination
pour modifier, associer et transformer des résultats déjà obtenus en nouveaux résultats.
Pavages avec des dominos
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024On dispose d'une boîte de dominos et de diverses figures composées de carrés collés les uns aux
autres par leurs côtés.
On voudrait savoir quelles sont les figures de ce type qu'on peut recouvrir exactement par des
dominos (sans dépasser de la figure, sans que deux dominos recouvrent la même case, sans qu'il
reste des cases vides). On parle de figures "pavables" par des dominos.
autres par leurs côtés.
On voudrait savoir quelles sont les figures de ce type qu'on peut recouvrir exactement par des
dominos (sans dépasser de la figure, sans que deux dominos recouvrent la même case, sans qu'il
reste des cases vides). On parle de figures "pavables" par des dominos.
Rien ne lui échappe
Lycée français international Simone Veil (Düsseldorf) 2023-2024Dune du Pilat
Lycée français international Simone Veil (Düsseldorf) 2023-2024Pari de dés
Lycée français international Simone Veil (Düsseldorf) 2023-2024Crêpes
Collège Jean Perrin (Lyon), Collège de la Tourette (Lyon) 2023-2024Combien faut-il de connexions entre les plaques de cuisson pour ne pas relever la louche et passer une seule fois sur chaque plaque.
Robots
Collège Jean Perrin (Lyon), Collège de la Tourette (Lyon) 2023-2024Des robots doivent se connecter les uns aux autres pour se mettre en mouvement. Comment réduire le temps de mise en route de tous les robots? Quel est l'impact de la forme de la pièce sur les déplacements à prévoir ?
Mots variés et mots circulaires
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024Comme nous sommes mathématiciens, le sens des mots ne nous intéresse pas et on considère que
tout mot est acceptable (même s'il n'a pas de sens).
tout mot est acceptable (même s'il n'a pas de sens).
Calculs faciles de surfaces
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024On s’intéresse à une classe particulière de polygones : les polygones entiers. Pour les définir nous
avons besoin de travailler sur une feuille à petits carreaux. Un point d’une feuille à petits carreaux est
un point entier s’il se trouve à l’intersection de deux lignes du quadrillage. Un polygone dessiné sur
votre feuille à petits carreaux est un polygone entier si tous ses sommets sont des points entiers.
avons besoin de travailler sur une feuille à petits carreaux. Un point d’une feuille à petits carreaux est
un point entier s’il se trouve à l’intersection de deux lignes du quadrillage. Un polygone dessiné sur
votre feuille à petits carreaux est un polygone entier si tous ses sommets sont des points entiers.
Découpages convenables
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024On nommera forme avec des carrés (ou forme tout court) une juxtaposition de carrés de même taille
collés les uns aux autres (à chaque fois côté contre côté). Les trous sont autorisés, mais il faut que la
pièce soit d'un seul tenant.
collés les uns aux autres (à chaque fois côté contre côté). Les trous sont autorisés, mais il faut que la
pièce soit d'un seul tenant.
Formes avec des carrés
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024On nommera forme avec des carrés (ou forme tout court) une juxtaposition de carrés de même taille
collés les uns aux autres (à chaque fois côté contre côté). Les trous sont autorisés, mais il faut que la
pièce soit d'un seul tenant.
collés les uns aux autres (à chaque fois côté contre côté). Les trous sont autorisés, mais il faut que la
pièce soit d'un seul tenant.
Suites multiplicatives
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024Partant d'un nombre entier, par exemple 95, on en multiplie les chiffres ce qui donne 45(=9×5) ; on
recommence et cela donne 20(=4×5) ; on recommence et cela donne 0, qui lui-même redonne 0, et
donc on s'arrête.
On note cela : 95→45→20→0.
On dit qu'il s'agit de la suite multiplicative partant de 95. Sa longueur est 4. Elle arrive sur 0.
Le sujet consiste à étudier les suites multiplicatives.
recommence et cela donne 20(=4×5) ; on recommence et cela donne 0, qui lui-même redonne 0, et
donc on s'arrête.
On note cela : 95→45→20→0.
On dit qu'il s'agit de la suite multiplicative partant de 95. Sa longueur est 4. Elle arrive sur 0.
Le sujet consiste à étudier les suites multiplicatives.
Les tactiques de TIC & TAC
Collège Chepfer (Villers lès Nancy) 2023-2024Sur un graphe, TIC se place le premier sur un sommet qu’il choisira puis TAC au nez rouge se place sur un autre sommet qu’il aura convenablement choisi. TIC part à la chasse de TAC.
Il s’agit d’un jeu de course-poursuite de TIC contre TAC. Les déplacements se font à chaque fois d’un sommet à un sommet voisin du graphe le long d’une arête, à tour de rôle d’abord TIC puis TAC, sans possibilité de rester sur place. TIC doit attraper TAC, c’est-à-dire arriver sur le même sommet que TAC.
Sur un graphe donné, si TIC peut attraper TAC quelle que soit la façon de jouer de TAC, on dira que TIC a une stratégie gagnante et que le graphe est TIC gagnant. Dans le cas contraire, si TAC arrive indéfiniment à éviter TIC quelle que soit la façon de jouer de TIC, on dira que TAC a une stratégie gagnante et le graphe est TAC gagnant.
Le but de cet exposé est de déterminer si un graphe est TIC ou TAC gagnant et de trouver peut être certaines caractéristiques de ces graphes !
Il s’agit d’un jeu de course-poursuite de TIC contre TAC. Les déplacements se font à chaque fois d’un sommet à un sommet voisin du graphe le long d’une arête, à tour de rôle d’abord TIC puis TAC, sans possibilité de rester sur place. TIC doit attraper TAC, c’est-à-dire arriver sur le même sommet que TAC.
Sur un graphe donné, si TIC peut attraper TAC quelle que soit la façon de jouer de TAC, on dira que TIC a une stratégie gagnante et que le graphe est TIC gagnant. Dans le cas contraire, si TAC arrive indéfiniment à éviter TIC quelle que soit la façon de jouer de TIC, on dira que TAC a une stratégie gagnante et le graphe est TAC gagnant.
Le but de cet exposé est de déterminer si un graphe est TIC ou TAC gagnant et de trouver peut être certaines caractéristiques de ces graphes !
L'horizon
Collège Jean-Jacques Rousseau (Carvin) 2023-2024Jusqu'où peut -on voir?
Une aiguille à l'économie
Lycée Martin Malvy (Cazères) 2023-2024On fait tourner sur elle-même une aiguille de 10 cm de longueur. Quelle est la plus petite surface dans laquelle on peut lui faire faire un tour sur elle-même ?
Les fractions égyptiennes
Lycée Martin Malvy (Cazères) 2023-2024Une fraction égyptienne est une fraction qui est la somme de trois fractions de la forme 1/n où n est un entier positif. Quelles sont les fractions égyptiennes ?
Une dynamique de triangles
Lycée Martin Malvy (Cazères) 2023-2024On se donne un triangle ABC de périmètre 1. On note A’ le symétrique de A par rapport au côté opposé, B’ le symétrique de B par rapport au sommet opposé, C’ etc... On obtient un nouveau triangle A’B’C’. On effectue une homothétie pour transformer A’B’C’ en un triangle de longueur 1. Peut-on retomber sur un triangle identique à ABC ?
La courbe du jeu de carte
Lycée Martin Malvy (Cazères) 2023-2024Quand on étale un jeu de cartes dans le sens puis que l'on retourne la carte du dessous, cela soulève les autres cartes et crée un pic que l'on peut facilement déplacer d'un doigt. Quelle est la formule de la courbe approximativement tracée par le sommet de ces cartes ?
Subdivision
Lycée Martin Malvy (Cazères) 2023-2024On prend un polyèdre convexe. On regarde le milieu de chaque arrête. Ça nous donne les sommets d’un nouveau polyèdre convexe. Et on recommence. Étudier le nombre de sommets obtenus en fonction du polyèdre de départ, quand on itère le procédé.
Diagonales
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024Collège Saint Adrien:
Paul voudrait construire un immeuble pour louer des appartements et se loger.
Il fait donc appel à l'architecte Margaux.
Celle-ci lui propose de mettre des structures en acier.
Elle lui estime donc un prix, malheureusement ce prix est trop cher pour Paul.
Il demande donc à Margaux si il peut retirer des diagonales ou des barres sur son immeuble.
Aidez margaux a trouver comment retirer des diagonales sur cette structure sans que l'immeuble tombe.
Précision : l'immeuble est en 2D, posé au sol verticalement.
Paul voudrait construire un immeuble pour louer des appartements et se loger.
Il fait donc appel à l'architecte Margaux.
Celle-ci lui propose de mettre des structures en acier.
Elle lui estime donc un prix, malheureusement ce prix est trop cher pour Paul.
Il demande donc à Margaux si il peut retirer des diagonales ou des barres sur son immeuble.
Aidez margaux a trouver comment retirer des diagonales sur cette structure sans que l'immeuble tombe.
Précision : l'immeuble est en 2D, posé au sol verticalement.
L'hôtelier
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-20244 vacanciers quittent un hôtel sans payer, chacun vers un point cardinal, à des vitesses différentes (3;5;9;18 km/h); Au bout d'1h l'hôtelier part (à 45km/h) pour les rattraper l'un après l'autre, en repassant pas l'hôtel entre chaque. Quelle stratégie doit-il adopter pour terminer le plus vite possible ?
Le comptable
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-2024Peut-on déterminer 3 entiers naturels distincts 2 à 2, de 2 chiffres, commençant tous par le même chiffre, et tels que leur somme est divisible par 2 d'entre eux ?
Peut-on déterminer 4 entiers naturels distincts 2 à 2, de 3 chiffres, commençant tous par le même chiffre, et tels que leur somme est divisible par 3 d'entre eux ?
Peut-on déterminer 4 entiers naturels distincts 2 à 2, de 3 chiffres, commençant tous par le même chiffre, et tels que leur somme est divisible par 3 d'entre eux ?
Les nombres Noël
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024A la découverte des nombres miroirs, des nombres RADAR, des nombres NOEL et des paires NOEL
La tondeuse magique
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024Un jardin est divisé en plusieurs parcelles.
Quand la tondeuse magique touche une parcelle, elle la tond automatiquement.
Nous cherchons à savoir combien de trajets la tondeuse doit effectuer pour tondre l’entièreté de la pelouse.
Quand la tondeuse magique touche une parcelle, elle la tond automatiquement.
Nous cherchons à savoir combien de trajets la tondeuse doit effectuer pour tondre l’entièreté de la pelouse.
Trions trions
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024Collège Saint Adrien:
Saute-lapin !
L’histoire se passe dans un pré. Des lapins de différents poids jouent ensemble à saute-mouton : un de 1 kg, de 2 kg et de 3 kg.
À chaque saut, deux lapins s’échangent, et un des deux change de couleur.
Chaque lapin n’a le droit de s’échanger qu’avec un plus gros que lui devant lui, ou un plus petit que lui derrière lui.
Enfin, leur but est qu’il soient tous dans l’ordre du plus léger au plus lourd, et qu’ils soient tous de la même couleur.
Saute-lapin !
L’histoire se passe dans un pré. Des lapins de différents poids jouent ensemble à saute-mouton : un de 1 kg, de 2 kg et de 3 kg.
À chaque saut, deux lapins s’échangent, et un des deux change de couleur.
Chaque lapin n’a le droit de s’échanger qu’avec un plus gros que lui devant lui, ou un plus petit que lui derrière lui.
Enfin, leur but est qu’il soient tous dans l’ordre du plus léger au plus lourd, et qu’ils soient tous de la même couleur.
Construction métallique
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024Collège Saint Adrien: Il était une fois... une petite commune nommée Tiercelieux. Cette commune était victime de désastreux effondrements durant les nuits de pleine lune. Il est dit que cette petite commune isolée possédait peu de matériaux pour subvenir à la reconstruction de leurs bâtiments. C'est pour cela, qu'il on fait appel à nos services ! Le projet : économiser leurs ressources (argent, matériaux) tout en construisant des bâtiments solides pour lutter contre ces mystérieux événements...
La calculight
Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres), Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024On considère une machine à calculer qui ne prend en compte que des entiers positifs et qui possède trois touches :
— la touche « ×3 » qui permet de multiplier un nombre par 3,
— la touche« ×3 + 2 » qui permet de multiplier un nombre par 3 puis d’ajouter 2 au résultat,
— la touche « : 2 » qui permet de diviser par deux un entier pair.
A l’aide de cette machine, on construit une suite de nombres entiers de la façon suivante :
1. On entre le chiffre 4,
2. On choisit une des touches proposées par la machine et on obtient un nouveau nombre entier,
3. On entre ce nouveau nombre entier et on itère le procédé à partir de l’étape 2.
Tout nombre obtenu par ce procédé est dit atteignable.
Exemples de questions à se poser :
1. Vérifier que 12 est atteignable.
2. Le nombre 2023 est-il atteignable ?
3. Existe-t-il des entiers non atteignables ?
4. Explorer d’autres situations :
— On change le nombre de départ,
— On change les… voir la suite
— la touche « ×3 » qui permet de multiplier un nombre par 3,
— la touche« ×3 + 2 » qui permet de multiplier un nombre par 3 puis d’ajouter 2 au résultat,
— la touche « : 2 » qui permet de diviser par deux un entier pair.
A l’aide de cette machine, on construit une suite de nombres entiers de la façon suivante :
1. On entre le chiffre 4,
2. On choisit une des touches proposées par la machine et on obtient un nouveau nombre entier,
3. On entre ce nouveau nombre entier et on itère le procédé à partir de l’étape 2.
Tout nombre obtenu par ce procédé est dit atteignable.
Exemples de questions à se poser :
1. Vérifier que 12 est atteignable.
2. Le nombre 2023 est-il atteignable ?
3. Existe-t-il des entiers non atteignables ?
4. Explorer d’autres situations :
— On change le nombre de départ,
— On change les… voir la suite
Tournicolor
Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres), Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024Sur une île déserte, vivent des caméléons particuliers : ils peuvent prendre soit la couleur rouge, soit la couleur bleue, soit la couleur verte. Et leur couleur évolue uniquement en fonction des rencontres entre caméléons selon la règle suivante :
— Si deux caméléons de même couleur se rencontrent, rien ne se passe,
— Si deux caméléons de couleurs différentes se rencontrent, ils prennent tous les deux la troisième couleur.
Le nombre de caméléons présents sur l’île ne change pas.
A partir d’une configuration de départ, on s’intéresse à l’évolution de la répartition des caméléons par couleurs.
Exemples de questions à se poser :
1. Existe-t-il des configurations stables, c’est-à-dire qui une fois atteintes n’évolueront plus ?
2. A partir d’une configuration de départ donnée, peut-on arriver à la situation où tous les caméléons sont de couleur identique ?
3. Peut-on toujours, quel que soit le nombre de caméléon présents et quelle que soit la configuration de… voir la suite
— Si deux caméléons de même couleur se rencontrent, rien ne se passe,
— Si deux caméléons de couleurs différentes se rencontrent, ils prennent tous les deux la troisième couleur.
Le nombre de caméléons présents sur l’île ne change pas.
A partir d’une configuration de départ, on s’intéresse à l’évolution de la répartition des caméléons par couleurs.
Exemples de questions à se poser :
1. Existe-t-il des configurations stables, c’est-à-dire qui une fois atteintes n’évolueront plus ?
2. A partir d’une configuration de départ donnée, peut-on arriver à la situation où tous les caméléons sont de couleur identique ?
3. Peut-on toujours, quel que soit le nombre de caméléon présents et quelle que soit la configuration de… voir la suite
Un air de famille
Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres), Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024On considère un jeu dans lequel on construit des personnages présentant les caractéristiques suivantes :
— Forme : ronde ou carrée.
— Cheveux : avec ou sans.
— Yeux : noirs, gris ou blancs.
— Bras : deux bras ou un bras droit uniquement ou un bras gauche uniquement ou pas de bras.
— Jambe : deux jambes ou une jambe droite uniquement ou une jambe gauche uniquement ou pas de jambe.
Ces personnages sont créés à partir d’un logiciel qui remplit un tableau de deux colonnes et cinq lignes, chaque cas contenant un 0 ou un 1 avec probabilité 1/2. Ce tableau est appelé la carte génétique du personnage.
La première ligne correspond à la forme, la deuxième aux cheveux, la troisième aux yeux, la quatrième aux bras et la cinquième aux jambes. Et on a les règles suivantes :
— Forme : si la première ligne contient deux 0, la forme est carrée, sinon elle est ronde.
— Cheveux : si la deuxième ligne contient deux 0, le personnage est chauve, sinon il a des cheveux.… voir la suite
— Forme : ronde ou carrée.
— Cheveux : avec ou sans.
— Yeux : noirs, gris ou blancs.
— Bras : deux bras ou un bras droit uniquement ou un bras gauche uniquement ou pas de bras.
— Jambe : deux jambes ou une jambe droite uniquement ou une jambe gauche uniquement ou pas de jambe.
Ces personnages sont créés à partir d’un logiciel qui remplit un tableau de deux colonnes et cinq lignes, chaque cas contenant un 0 ou un 1 avec probabilité 1/2. Ce tableau est appelé la carte génétique du personnage.
La première ligne correspond à la forme, la deuxième aux cheveux, la troisième aux yeux, la quatrième aux bras et la cinquième aux jambes. Et on a les règles suivantes :
— Forme : si la première ligne contient deux 0, la forme est carrée, sinon elle est ronde.
— Cheveux : si la deuxième ligne contient deux 0, le personnage est chauve, sinon il a des cheveux.… voir la suite
Le black jack
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024Quelle est la meilleure stratégie à adopter pour essayer de battre le croupier ?
Le jeu des petits carrés
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024Deux joueurs jouent sur un quadrillage de n carreaux par n carreaux (commencer par
n = 3,4) dont le bord est déjà tracé. Chacun trace à son tour un trait sur un côté du quadrillage, sauf s’il referme un carreau, auquel cas il colorie celui-ci de sa couleur et a le droit
de rejouer (jusqu’à ce qu’il ne termine plus de carreau). Pour la présentation, ce sera plus
simple à expliquer au tableau.
Auriez-vous une stratégie pour ce jeu ?
n = 3,4) dont le bord est déjà tracé. Chacun trace à son tour un trait sur un côté du quadrillage, sauf s’il referme un carreau, auquel cas il colorie celui-ci de sa couleur et a le droit
de rejouer (jusqu’à ce qu’il ne termine plus de carreau). Pour la présentation, ce sera plus
simple à expliquer au tableau.
Auriez-vous une stratégie pour ce jeu ?
Les jetons sauteurs
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024On dispose quatre jetons rouges et quatre jetons noirs en alternant les couleurs et en laissant un espace vide de deux cases à la fin.
Un coup consiste à déplacer deux jetons voisins dans l’espace libre. On souhaite arriver à la situation où tous les jetons noirs sont suivis de tous les jetons rouges.
Est-ce possible ? Si oui, en combien de coups ? Et si on veut d’abord ranger les jetons rouges puis les noirs ? Et avec une disposition initiale différente ?
Un coup consiste à déplacer deux jetons voisins dans l’espace libre. On souhaite arriver à la situation où tous les jetons noirs sont suivis de tous les jetons rouges.
Est-ce possible ? Si oui, en combien de coups ? Et si on veut d’abord ranger les jetons rouges puis les noirs ? Et avec une disposition initiale différente ?
Des calculs de racines faciles
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024Voici un calcul faux vu dans une vidéo : pour calculer la racine carrée d’un entier, on
additionne ses chiffres et on retranche 2. Par exemple :
√25 : 2 + 5 − 2 = 5, √64 : 6 + 4 − 2 = 8.
Est-ce que cela marche pour beaucoup d’entiers ? Une infinité ? Ou seulement pour un
nombre fini d’entiers, et dans ce cas lesquels ?
En s’inspirant de ceci, on peut inventer une règle similaire (bien évidemment encore
fausse) pour la racine cubique d’un entier : on additionne ses chiffres et on retranche 3.
additionne ses chiffres et on retranche 2. Par exemple :
√25 : 2 + 5 − 2 = 5, √64 : 6 + 4 − 2 = 8.
Est-ce que cela marche pour beaucoup d’entiers ? Une infinité ? Ou seulement pour un
nombre fini d’entiers, et dans ce cas lesquels ?
En s’inspirant de ceci, on peut inventer une règle similaire (bien évidemment encore
fausse) pour la racine cubique d’un entier : on additionne ses chiffres et on retranche 3.
Le chat et la souris
École élémentaire de la Porte d’Ivry (Paris), Ecole élémentaire Félix Eboué (Le Pecq) 2023-2024Jeu de pièces
École élémentaire de la Porte d’Ivry (Paris), Ecole élémentaire Félix Eboué (Le Pecq) 2023-2024Pavages
École élémentaire de la Porte d’Ivry (Paris), Ecole élémentaire Félix Eboué (Le Pecq) 2023-2024Plus court chemin entre deux points dans la vie
Lycée Jean Jaurès (Reims) 2023-2024Quel est le plus court chemin entre deux points... dans la vraie vie ? En effet, la ligne droite est optimale... s'il y a pas d'obstacles (dans le plan, dans l'espace, sur une sphère, sur un pavé, dans le plan d'une ville, etc...)
M&M's
Collège Marcel Pagnol (Noyen sur Sarthe), Lycée Lavoisier (Mayenne) 2023-2024Combien vais-je manger de bonbons selon la règle de tirage aléatoire choisie
Jeux de dames
Collège Carnot (Dijon) 2023-2024Des dames noires et des dames blanches doivent échanger leurs positions en se déplaçant sur des espaces vides ou en sautant par dessus une autre. Combien de déplacement minimums seront nécessaires ? Y a-t-il une stratégie à adopter ? Et si le nombre de blanches et noires est différent ?
La cagette de pommes
Collège Carnot (Dijon) 2023-2024Contamination de pommes dans une cagette en fonction des pommes autour. Combien de pommes pour tout contaminer ? Où les placer ? Et si les cagettes ne sont pas carrées mais rectangulaires ?
Trajectoires de marins
Collège Carnot (Dijon) 2023-2024Comment se déplacer d'un point à l'autre sur le globe en utilisant des routes les plus courtes possibles ? Où va-t-on lorsqu'on se déplace avec un angle constant avec un méridien ? Et si la Terre était un donut ?
Comptons des escaliers
Collège Villey Desmeserets (Caen), Lycée Malherbe (Caen) 2023-2024On dispose d'un nombre donné de briques et on souhaite compter le nombre d'escaliers différents que l'on peut faire. L'objectif est de compter le nombre d'escaliers différents pour un nombre de briques donné.
Motifs Hitomezashi
Lycée Marcel Sembat (Sotteville-lès-Rouen) 2023-2024Un motif Hitomezashi est codé par deux suites finies de 0 et 1. L’une des suites est écrite horizontalement et décrit les décalages pour les pointillés verticaux. L’autre suite est écrite verticalement et décrit les décalages horizontaux. Les pointillés verticaux et horizontaux se combinent pour former des lignes brisées. On peut alors étudier ces lignes brisées...
Les figures de l'ombre
Lycée Marcel Sembat (Sotteville-lès-Rouen) 2023-2024On imagine un solide dans un cube transparent et on place un point de lumière perpendiculaire à chacune des faces. On obtient une ombre sur chacune des 6 faces. Peut-on retrouver la forme du solide en connaissant les formes des ombres ?
Des chiffres et des chiffres
Collège Kennedy (Mulhouse) 2023-2024Nous travaillons sur le jeu mathématique de l'émission télévisée.
Optimisation size garbage
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024A family has three garbage bins: blue (recyclables), green (compost), and black (others). At the beginning of the first week, all the bins are empty. Each week, the family generates a total of 10kg of waste. The waste is then sorted and placed in the bins. Then the heaviest bin is emptied, and its contents are thrown away. What is the minimum requirement (in kg) of each bin so that it does not overflow?
The card game
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024Two players are given a deck of cards numbered from 1 to 6. Each of them picks a card from the deck. The person with the higher card will win the game. After the cards are picked, one of the players asks the other one 'Do you want to exchange your card with mine?'. Should the other player respond with a yes or a no, assuming perfect logical reasoning by both players? What should be the response if the number of cards is 10?
Cake-cutting problem: How to fairly divide a cake
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024Suppose you want to divide a cake, with uneven distributions, between two people in a way that makes both of them satisfied, i.e., both of them believe that they have a better or equally good piece as the other one. Such a solution is called an envy-free solution. This is a classical problem whose solution is given by the ‘you cut, I choose’ approach. This means that one of the players cuts the cake into two pieces, and the other one chooses which one to pick for themselves. Since the first player knows that if they cut the cake into unequal pieces then the other player can just pick the better piece, the best strategy for the first player is to cut the cake into equally valued pieces. So the first player would be equally happy independent of the piece they get. The second player then just chooses the piece which makes them more happy, and we get an envy-free solution. How can one generalize this approach to divide a cake between 3 players?
Le problème de la répartition des gains de Pascal
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024Deux joueurs jouent à un jeu de hasard, disons pile ou face. Ils ont parié 100€, le gagnant étant le premier à arriver à 100 victoires. Malheureusement, ils se voient forcés d’arrêter la partie avant la fin, alors qu’ils en étaient respectivement à 81 et 49 victoires. Quelle serait une répartition juste de la mise ?
Un point, deux états
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024On considère une particule qui peut être dans trois états : au repos, excitée et désintégrée. On l’observe à chaque seconde et on note X_n l’état observée à la n-ième seconde. Quand elle est au repos, à chaque seconde, elle a une probabilité p de s’exciter. Quand elle est excitée, à chaque seconde, elle a une probabilité q de se désintégrer. Quand elle est désintégrée, on recommence l’expérience. Pour choisir l’état initial de la nouvelle expérience, on tire au hasard parmi tous les états observés jusque là (sur toutes les expériences passées). Autrement dit, si la particule se désintègre à la fin de l’étape n, X_{n+1} prend la valeur de X_K où K est un nombre aléatoire uniformément choisi entre 1 et n. Que se passe-t-il en temps long ? Ne verra-t-on plus que des états excités au bout d’un moment ? Leur proportion tendra-t-elle vers 1 ?
Machine à sous
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024Dans un jeu vidéo, plusieurs tâches sont possibles (par exemple, tâche 1=aller battre tel monstre; tâche 2=aller chercher tel objet, etc.). À chaque fois qu’on réalise une tâche, on a une certaine probabilité de recevoir une récompense. Cette probabilité est propre à chaque tâche (par exemple, à chaque fois qu’on réalise la tâche 1, on a une probabilité p_1 d’avoir une récompense, qui sera toujours la même si on recommence la tâche 1, mais qui est différente de la probabilité de récompense de la tâche 2), et le joueur ne la connaît pas. Le fait de recevoir une récompense est indépendant d’une tâche à l’autre (au moment où l’on termine la tâche 1, tout se passe comme si le jeu lançait en l’air une pièce non-équilibrée qui aurait une probabilité p_1 de faire pile, et si elle fait pile il donne une récompense). Quelle stratégie le joueur peut-il adopter pour maximiser son gain sur le long terme ?
Le problème de Parcoursup
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024On se pose le problème que se sont posé les concepteurs de Parcoursup : on a d’un côté N étudiants qui veulent s’inscrire à des formations, et de l’autre M places dans diverses formations. Les étudiants et les formations ont leur critères de préférences, qui leurs sont propres. À partir de là, que peut-on faire ? Quelles propriétés peut-on souhaiter exiger d’une méthode de répartition ? Peut-on trouver des méthodes qui ont ces garanties ? Que se passe-t-il si on regarde un problème à trois corps, où par exemple le but serait de former des trios en choisissant une université, un doctorant et un directeur de thèse, chacun avec ses préférences individuelles ?
Le voyageur de commerce
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024Un voyageur doit visiter une liste de villes puis revenir à son point de départ. Étant données deux villes A et B dans la liste, on connaît le coût d’aller de A à B (ce peut être par exemple la distance, ou le prix du billet de train, ou le temps de trajet). Peut-on trouver une méthode pour choisir l’ordre dans lequel visiter les villes, de façon à minimiser le coût total du voyage ?
Palindromes
Lycée Stendhal (Milan) 2023-2024Les mots « gag », « non », « elle », « rotor », « ressasser » ont une propriété qui saute aux yeux : on peut les lire de droite à gauche aussi bien que de gauche à droite. On dit que ce sont des palindromes : « ressasser » est le plus long mot palindrome en français.
Si on néglige les blancs, les accents, les majuscules et la ponctuation, il devient possible de composer des phrases et même de longs textes palindromiques. Voici quelques exemples de phrases :
Élu par cette crapule. (Marcel Duchamp)
Noël a trop par rapport à Léon. (Sylvain Viart)
Rue Verlaine gela le génial rêveur. (Jacques Perry-Salkow)
Ésope reste ici et se repose. (Maître Capelo)
Le mathématicien préfère envisager les nombres palindromes. En trouver est facile puisque 0 et toute suite de chiffres ne commençant pas par 0 représente un nombre en base 10 et qu'on peut donc sans difficulté en écrire qui soient des palindromes : 242, 10001 ou 12321.
Voici le début de la liste infinie des… voir la suite
Si on néglige les blancs, les accents, les majuscules et la ponctuation, il devient possible de composer des phrases et même de longs textes palindromiques. Voici quelques exemples de phrases :
Élu par cette crapule. (Marcel Duchamp)
Noël a trop par rapport à Léon. (Sylvain Viart)
Rue Verlaine gela le génial rêveur. (Jacques Perry-Salkow)
Ésope reste ici et se repose. (Maître Capelo)
Le mathématicien préfère envisager les nombres palindromes. En trouver est facile puisque 0 et toute suite de chiffres ne commençant pas par 0 représente un nombre en base 10 et qu'on peut donc sans difficulté en écrire qui soient des palindromes : 242, 10001 ou 12321.
Voici le début de la liste infinie des… voir la suite
Paver le plan avec des dominos et des rectangles
Lycée Stendhal (Milan) 2023-2024On dispose d'une boîte de dominos et de diverses figures composées de carrés collés les uns aux autres par leurs côtés.
On voudrait savoir quelles sont les figures de ce type qu'on peut recouvrir exactement par des dominos (sans dépasser de la figure, sans que deux dominos recouvrent la même case, sans qu'il reste des cases vides). On parle de figures "pavables" par des dominos.
On voudrait savoir quelles sont les figures de ce type qu'on peut recouvrir exactement par des dominos (sans dépasser de la figure, sans que deux dominos recouvrent la même case, sans qu'il reste des cases vides). On parle de figures "pavables" par des dominos.
Mots variés et mots circulaires
Lycée Stendhal (Milan) 2023-2024Comme nous sommes mathématiciens, le sens des mots ne nous intéresse pas et on considère que tout mot est acceptable (même s'il n'a pas de sens). Comment compter tous les mots ?
Suite de nombres
Lycée Stendhal (Milan) 2023-2024Partant d'un nombre entier —par exemple 95—, on en multiplie les chiffres ce qui donne 45 (=9x5) ; on recommence et cela donne 20 (=4x5) ; on recommence et cela donne 0, qui lui-même redonne 0, et donc on s'arrête.
On note cela : 95 --> 45 --> 20 --> 0
On dit qu'il s'agit de la suite multiplicative partant de 95.
Sa longueur est 4. Elle arrive sur 0.
Le sujet consiste à étudier les suites multiplicatives.
On note cela : 95 --> 45 --> 20 --> 0
On dit qu'il s'agit de la suite multiplicative partant de 95.
Sa longueur est 4. Elle arrive sur 0.
Le sujet consiste à étudier les suites multiplicatives.
[sujet ?]
Lycée Gustave Eiffel (Dijon), Lycée Jean-Marc Boivin (Chevigny-St-Sauveur) 2023-2024Le tour de la galaxie
Lycée Carnot (Dijon) 2023-2024Dans la galaxie de Star Wa.rs, à partir d'une planète donnée, on peut en rejoindre toute autre par un passage dans l'hyperspace. Enfin presque : certains passages sont bloqués par des champs d'astéroïdes, on dit alors que ces planètes sont « distantes ». Au dép art de la planète de son choix à bord de son Faucon Millénium, Han Solo doit chercher Leia dans 5 planètes : Naboo, Aderaan, Kashyyyk, Coruscant et Dagobah. Il n'a le droit de passer qu'une seule fois par chaque planète, avant de revenir à la case du départ, les chasseurs Tie étant à ses trousses. Il aura alors fait le tour de la galaxie.
Esprit compétitif
Lycée Carnot (Dijon) 2023-2024Jean-Bernard et sa femme Bernadette, sont à la plage et regardent les gens se baigner. Soudain, un garçon commence à crier à l'aide dans l'eau. Jean-Bernard décide de lui porter secours. Il court tout droit vers le garçon, se jette à l'eau, puis nage vers lui. Entre temps Bernadette réfléchit. Les deux se trouvent à dix mètres de l'eau, le garçon à dix mètres du rivage, 20 mètres plus à l'est.
Party linguistics
Liceo scientifico E. Curiel (Padova) 2023-2024No car crash in Manhattan!
Liceo scientifico E. Curiel (Padova) 2023-2024Jeux de dames
Collège Montchapet (Dijon) 2023-2024Les dames blanches doivent occuper les places des dames noires et vice-versa.
Règles : une dame peut se déplacer vers un carré adjacent, s’il est vide. Une dame peut sauter au-dessus d’une dame adjacente vers un carré vide.
Quel est le nombre de minimal de mouvements nécessaires pour atteindre l’objectif ?
Autant de dames noires et blanches de chaque côté ou pas.
Schématisation grâce à un jeu de dames chinoises.
Règles : une dame peut se déplacer vers un carré adjacent, s’il est vide. Une dame peut sauter au-dessus d’une dame adjacente vers un carré vide.
Quel est le nombre de minimal de mouvements nécessaires pour atteindre l’objectif ?
Autant de dames noires et blanches de chaque côté ou pas.
Schématisation grâce à un jeu de dames chinoises.
La cagette de pommes
Collège Montchapet (Dijon) 2023-2024Savoir quand et comment une cagette peut être contaminée dans sa totalité. Cagettes carrées ou rectangulaires. Schématisation grâce au jeu Othello (pomme saine blanche / pomme pourrie noire)
Les calendriers
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Avion et ravitaillement
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Construction d'un pont
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Jeux de stratégie
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Cryptographie 2
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Cryptographie 1
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Special polygons
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova) 2023-2024Consider n segments of length a and another n segments of length b.
(a) Suppose a ≠ b. Can you construct a convex polygon with 2n sides in such a way that the lengths of adjacent sides are different, but all the internal angles are equal?
What are the longest diagonals of such a polygon?
(b) A diagonal and a side of the polygon are said to be commensurable if the quotient of their lengths is rational. Study the commensurability of the diagonals with the sides when:
i. a = b;
ii. a ≠ b (try to see what happens in some specific examples).
(a) Suppose a ≠ b. Can you construct a convex polygon with 2n sides in such a way that the lengths of adjacent sides are different, but all the internal angles are equal?
What are the longest diagonals of such a polygon?
(b) A diagonal and a side of the polygon are said to be commensurable if the quotient of their lengths is rational. Study the commensurability of the diagonals with the sides when:
i. a = b;
ii. a ≠ b (try to see what happens in some specific examples).