Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : Modélisation de la croissance de végétaux - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
L-systems are introduced as models for plant growth.
Mots clés : L-système, récurrenceArticle : Decomposing integers - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
What are the integers that can be written as x2+ay2, where a∈Z is fixed?
Les élèves résolvent graphiquement les cas a=0,1,2,-1,-2 pour un entier n entre -21 et 21.
Mots clés : arithmétique, équation diophantienneLes élèves résolvent graphiquement les cas a=0,1,2,-1,-2 pour un entier n entre -21 et 21.
Article : Visite à la Mezquita - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
La grande mosquée de Cordoue contient plus de 800 colonnes, disposées régulièrement sur un quadrillage. Si on se place au centre, quelles colonnes sont visibles, lesquelles ne le sont pas ? Y a t-il de grandes zones non visibles ? La question de la visibilité d’une colonne est liée au pgdc entre leur deux coordonnées. À l’aide d’une exploration informatique poussée, des images des colonnes visibles sont créées et une grande zone cachée est trouvée.
Mots clés : configuration de points, colonne, coordonnée, pgcd, nombres premiers entre eux, code, modélisation informatiqueArticle : Le sujet dont vous êtes l’auteur - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
The work consists of two problems proposed by the students themselves.
In the first problem, the authors consider this question: “given an n×n table and a prime number p, in how many ways the table can be filled with integer numbers such that all the products on each row and each column is p or -p?”.
In the second problem, the question to be answered is: “given a product N = p_1 p_2 ... p_n of different prime numbers, in how many ways N can be written as x^2-y^2, where x and y are positive natural numbers?”
Both problems are solved in the work. Some simulations with the program C++ are also given
Mots clés : simulation, répartition des nombres premiers, combinatoireIn the first problem, the authors consider this question: “given an n×n table and a prime number p, in how many ways the table can be filled with integer numbers such that all the products on each row and each column is p or -p?”.
In the second problem, the question to be answered is: “given a product N = p_1 p_2 ... p_n of different prime numbers, in how many ways N can be written as x^2-y^2, where x and y are positive natural numbers?”
Both problems are solved in the work. Some simulations with the program C++ are also given
Article : Dominos sur grilles trouées - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
In this paper the author studies the possibilities of paving with dominos a square grid where an arbitrary number of obstacles are placed, that is from which an arbitrary number of cells have been removed. Different approaches are considered: direct study for a grid with a pair of obstacles, examples with more obstacles, approach by graph theory and then by linear algebra.
Mots clés : pavage, domino, graphe, graphe biparti, système linéaireArticle : Une question de tournois - Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue)
Cet article étudie les situations d’égalité lorsque des équipes se rencontrent les une les autres lors d’un tournoi. Y est discutée la probabilité qu’apparaissent, à l’issue d’un tournoi, des équipes
« jumelles » ayant obtenu les mêmes résultats au cours de leurs matchs.
Mots clés : tournoi, graphe, combinatoire« jumelles » ayant obtenu les mêmes résultats au cours de leurs matchs.
Article : Irrational numbers - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
Si d est un entier dont la décomposition en nombres premiers ne contient pas de carrés, trouver les entiers a et b tels que a+b√d soit inversible et que son inverse de soit la forme a’+b’ √d où a’ et b’ sont des entiers.
Mots clés : écriture des nombres, équation de PellArticle : La grosse équation - Lycée Le Likès (Quimper)
Les auteurs étudient l’équation diophantienne x/(y+z)+y(x+z)+z/(x+y) = 4.
Les tests sur un grand nombre de cas au moyen d’un ordinateur les amènent d'abord à la conjecture qu’il n’y a pas de solutions dans l’ensemble des nombres entiers positifs. Ils démontrent ensuite que cette conjecture est fausse. La détermination d’une solution utilise un bel argument géométrique qui permet de simplifier les calculs et de trouver la solution cherchée au moyen d’un processus itératif astucieux. Au vu des grands nombres impliqués, cette solution ne pouvait être obtenue à l’aide d’un simple algorithme de test. Au contraire, l’utilisation cruciale d’une approche géométrique, en considérant une certaine surface dans l’espace et la courbe obtenue par intersection avec un plan, permet de déterminer explicitement une solution.
Mots clés : équation diophantienne, géométrieLes tests sur un grand nombre de cas au moyen d’un ordinateur les amènent d'abord à la conjecture qu’il n’y a pas de solutions dans l’ensemble des nombres entiers positifs. Ils démontrent ensuite que cette conjecture est fausse. La détermination d’une solution utilise un bel argument géométrique qui permet de simplifier les calculs et de trouver la solution cherchée au moyen d’un processus itératif astucieux. Au vu des grands nombres impliqués, cette solution ne pouvait être obtenue à l’aide d’un simple algorithme de test. Au contraire, l’utilisation cruciale d’une approche géométrique, en considérant une certaine surface dans l’espace et la courbe obtenue par intersection avec un plan, permet de déterminer explicitement une solution.
Article : Jeu de type morpion - Lycée Les Catalins (Montélimar) Collège Marguerite Duras (Montélimar)
Ce jeu de type morpion est une version un peu différente du morpion classique, dans le sens où le joueur 1 cherche à aligner trois pions sur un morceau de quadrillage et l'autre (joueur 2) cherche à l'en empêcher. La forme du quadrillage est libre et les alignements en diagonale proscrits. L’autrice exhibe plusieurs formes minimales gagnantes pour le premier joueur quelques soient les coups du deuxième joueur : si un quadrillage contient une des ces formes, alors le premier joueur gagne. Un certain nombre de cas sont traités, avec des résultats établis et des conjectures qui restent à démontrer.
Mots clés : jeu, morpion, stratégie de jeu, stratégie gagnanteArticle : Le lapin et le camion - Lycée Le Likès (Quimper)
Un lapin doit traverser une route sans se faire écraser par un camion. À partir de cette situation, on va plonger dans l’espace-temps et y trouver un cône et des coniques.
Mots clés : poursuite, espace-temps, conique, ellipseArticle : La valse des polygones - Collège Alain Fournier (Orsay)
Soit p un polygone circonscrit à un cercle de centre O et p’ son image par une rotation de centre O.
Ce travail étudie les propriétés (nombres de côtés, aires et périmètres) des polygones obtenus par réunion et par intersection de p et p’.
Mots clés : polygone, périmètre, aire, rotation, trigonométrie, polygone régulierCe travail étudie les propriétés (nombres de côtés, aires et périmètres) des polygones obtenus par réunion et par intersection de p et p’.
Article : Pariez, mais je gagne - Collège Gaston Fébus (Orthez)
Il s’agit de trouver une stratégie pour ranger dans l’ordre, face dessus, une série de cartes numérotées présentées dans le désordre et retournées ou non ; à chaque coup on choisit deux cartes adjacentes, on les permute et on retourne l’une d’entre elles. Pour le jeu simplifié sans les retournements, une stratégie gagnant en un minimum de coups est établie dans cet article ; avec les retournements, il apparaît une condition de parité pour que le problème soit résoluble.
Mots clés : permutation, transposition, stratégie, paritéArticle : L’objet Invisible - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Dans cet article un objet est dit « invisible » quand on voit ce qui est derrière lui, comme si l’objet n'était pas là. Un objet peut être rendu invisible en déviant les rayons de lumière avec un système de miroirs, mais ces miroirs doivent être positionnés et orientés astucieusement pour que d’une part les rayons de lumière reprennent la direction initiale après les multiples réflexions par les miroirs et d’autre part n’intersectent pas l’objet, le rendant ainsi « invisible » . Pour ce faire, une analyse géométrique détaillée des propriétés de réflexion de la lumière est faite et plusieurs configurations sont trouvées. Une de ces configurations est confirmée par une expérience.
Mots clés : géométrie, triangle, miroir, optique géométriqueArticle : Les pokemons - École alsacienne (Paris)
Un pokémon est attribué à chaque élève d’un groupe. Le but est que chaque élève retrouve son pokémon. Les élèves passent les uns après les autres dans une salle et donnent une réponse. Chaque élève connaît la liste des pokémons utilisés, ceux attribués aux élèves suivants et les réponses précédentes. Le but est de trouver une stratégie pour faire le moins d ‘erreurs possibles.
Mots clés : algorithme, jeu, code correcteurArticle : La grenouille - École alsacienne (Paris)
Les auteurs considèrent un quadrillage rectangulaire, avec un nombre arbitraire de lignes et de colonnes, privé de deux cases situées à deux coins opposés. Une grenouille se trouve sur ce quadrillage et peut se déplacer seulement d’une case à l’une des quatre cases adjacentes. La question est de savoir s’il existe des chemins de la grenouille qui couvrent toute la table en ne passant pas plus d’une fois par chaque case.
Il est montré que le problème a une solution quand le nombre de lignes ou celui des colonnes est impair, mais qu’il n’y en a pas quand le nombre de lignes et celui des colonnes sont tous deux pairs.
Mots clés : quadrillage, chemin, chemin hamiltonienIl est montré que le problème a une solution quand le nombre de lignes ou celui des colonnes est impair, mais qu’il n’y en a pas quand le nombre de lignes et celui des colonnes sont tous deux pairs.
Problème de la pizza - École alsacienne (Paris)
Mario et Luigi ont une pizza. Mario découpe la découpe comme il le veut mais il doit forcément faire un nombre pair de parts (qui peuvent être de tailles différentes). Ils choisissent ensuite tour à tour une part en commençant par Luigi qui prend la part qu'il veut mais ensuite le choix devra se faire de manière adjacente à la part prise précédemment.
Mario peut-il faire un découpage lui permettant d’avoir plus de pizza, quels que soient les choix de Luigi ?
Mots clés : fraction, stratégieMario peut-il faire un découpage lui permettant d’avoir plus de pizza, quels que soient les choix de Luigi ?
Article : Drôle de carrelage - Collège Alain Fournier (Orsay)
Nous voulons remplir un couloir de taille 2 par n avec des dominos de taille 2 par 1. Combien y a-t-il de façons de procéder ? Le résultat est démontré grâce à la fameuse suite de Fibonacci ! Et pour un couloir de taille 3 par n ?
Mots clés : pavage, domino, combinatoire énumérativeArticle : Le hasard peut-il nous mettre d’accord ? - Collège Alain Fournier (Orsay)
On considère une classe de 22 élèves. Au départ, chaque élève a un joueur de l'équipe de France préféré parmi la liste des 22 joueurs sélectionnés pour l'Euro de foot. Chaque jour un élève E choisit un autre élève F et devient influencé par celui-ci dans le sens où le joueur préféré de E devient le joueur préféré de F.
Si les deux avaient initialement le même joueur préféré rien ne change...
Les élèves finiront-ils tous un jour par aduler le même joueur ? Quand ?
Mots clés : probabilité, hasard, convergenceSi les deux avaient initialement le même joueur préféré rien ne change...
Les élèves finiront-ils tous un jour par aduler le même joueur ? Quand ?
Article : La conspiration de la terre plate - Collège Alain Fournier (Orsay)
L’article étudie les effets de la représentation plane de la terre sur les distances et les surfaces.
Mots clés : carte, géométrie sphérique, distance, surface minimaleArticle : The clock and the planets - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
The aim of the article is to study the angles that the clock hands form.
We will describe which angle the two clock hands form in a determined hour during the day and
then we will analyze some particular situation.
Then, starting from the clock problem, we will study the planetary motion, we will find out the
angular position and the time at which it would be more advantageous to launch a spaceship from
one planet to reach another one with the shortest possible distance.
Finally we will propose the results of two simulations concerning the Solar System using Unity.
Mots clés : coordonnée polaire, géométrie, rotationWe will describe which angle the two clock hands form in a determined hour during the day and
then we will analyze some particular situation.
Then, starting from the clock problem, we will study the planetary motion, we will find out the
angular position and the time at which it would be more advantageous to launch a spaceship from
one planet to reach another one with the shortest possible distance.
Finally we will propose the results of two simulations concerning the Solar System using Unity.
Article : Les tours de Hanoï - Lycée Paul Guérin (Niort)
Dans cet article, on s’intéresse au jeu appelé "tours de Hanoï". On détermine le nombre de coups
minimum pour résoudre le jeu, on donne un programme qui donne la solution optimale et on établit
quelques statistiques. On s’intéresse ensuite à plusieurs variantes du jeu où certains mouvements sont
interdits.
Mots clés : tour de Hanoï, suite récurrente, algorithme récursifminimum pour résoudre le jeu, on donne un programme qui donne la solution optimale et on établit
quelques statistiques. On s’intéresse ensuite à plusieurs variantes du jeu où certains mouvements sont
interdits.
Article : Extinction d’une population - Lycée Paul Guérin (Niort)
Ce sujet traite du processus dit de Galton-Watson . On a au départ un individu à la génération 0. A chaque nouvelle génération, chaque individu de la génération n a une probabilité pi d’avoir i enfants, la famille des pi étant fixée. Quelle est la probabilité que la descendance de l’individu initial finisse par s’éteindre. Dans ce travail les élèves résolvent le problème pour p0=1/8, p1=3/8, p2=3/8 et p3=1/8.
Mots clés : suite, fonction, limite, convergence, calcul de probabilitéArticle : Un triangle peut en cacher (beaucoup) d’autres - Lycée Paul Guérin (Niort)
Un triangle équilatéral de côté n est découpé en triangles équilatéraux de côté 1 par les parallèles aux côtés. Combien de triangles de toutes tailles peut-on voir au total ?
Mots clés : triangle, combinatoire, dénombrementArticle : Les droïds à l’attaque - Lycée Raynouard (Brignoles) Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Chaque planète dans une galaxie est accessible de certaines autres et est habitée par un certain nombre de droïdes. A la fin de chaque siècle, chaque droïde en envoie une copie aux planètes accessibles et s’autodétruit. La population de droïdes des planètes est étudiée dans ce travail, en fonction du nombre initial de droïdes et de la relation d’accessibilité. Certains problèmes sont modélisés au moyen de matrices, d’autres sont étudiés dans le cadre des graphes.
Mots clés : graphe, matrice, robotArticle : Social distancing in the classroom - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Our research deals with arranging a certain number of students and a teacher in a classroom, while maintaining the social distance between the people in the room. Having the dimensions of the class and the length of the distance that must be kept between the students, we have to find an optimal method of arrangement, so that we can introduce as many people in the class as possible.
Mots clés : géométrie, cristallographique, surface minimale, polygone régulierArticle : The roof is on fire - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Problems that require determining the optimal trajectory between two points under certain restrictions often occur in practice. In this paper we try to find the position of a point such that the path that joins two given points, passing through, is traveled in minimum time. The speeds with which the road is traveled until the arrival in and after leaving are different. In the second part of the article we consider the speed constant along the trajectory, but we impose more restrictions on the trajectory.
Mots clés : dérivation, distance minimaleArticle : Breeding (like) rabbits - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
The students study the evolution of a group of rabbits. They start with an ideal case where the mortality rate is null, then they consider a more realistic approach, introducing new variables, namely the mortality rates for immature and adult rabbits.
Mots clés : suite de Fibonacci, suite récurrente, matriceDiaporama : Le sens de l’équilibre - Collège du Westhoek (Coudekerque Branche)
On a n droites et un certain nombre de plots. On dispose 3 plots sur chaque droite, ce qui détermine le nombre p de plots. Les plots sont numérotés de 1 à p. On fait la somme des numéros de plots de chaque droite : si cette somme est la même pour toutes les droites, la figure est dite « équilibrée » et la somme des numéros de plots sur chaque droite est la « constante magique ». Les auteurs montrent comment on peut calculer les valeurs possibles de cette constante magique. Ils traitent ensuite le cas où on a deux ou trois droites et font un premier essai pour 5 droites.
Mots clés : combinatoire, divisibilitéDiaporama : Toujours un jeu gourmand - Collège du Westhoek (Coudekerque Branche)
Cet article étudie le jeu à deux joueurs qui se joue avec une “tablette de chocolat” rectangulaire et où, tour à tour chacun des joueurs choisit deux carrés côte-à-côte sur la tablette parmi ceux qui ne sont pas encore pris. Le joueur qui ne dispose plus de deux carrés côte-à-côte a perdu. Après avoir étudié quelques situations particulières, on établit des stratégies gagnantes pour le second joueur dans le cas des tablettes pair x pair, et pour le premier dans le cas impair x pair.
Mots clés : jeu, stratégie de jeu, grille, dominoArticle : Mille pattes - Lycée Louis Massignon (Casablanca)
Les mille-pattes n’ont pas de doigts, mais ils ont des pattes qu’ils peuvent plier, tendre ou croiser ! L’objectif de ce travail est d’établir diverses manières de compter qui puissent convenir à un mille-pattes. En préliminaires, l’article décrit un ensemble de méthodes pour compter sur les doigts d’une main, notamment une méthode originale mise au point par les élèves. Deux méthodes sont ensuite comparées : la première ou chaque patte peut être soit tendue, soit pliée, et la deuxième où deux pattes voisines peuvent être croisées ou non. La première correspond au système binaire et le décompte des combinaisons possibles permet de compter jusqu’à 1023 avec 10 pattes. Les quatre opérations usuelles sont décrites dans ce système. Il est ensuite montré que le second système est lié à la suite de Fibonacci.
Mots clés : combinatoire, suite de Fibonacci, base 2Article : Automates cellulaires: un feu de forêt - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
On s’intéresse à la question de la propagation d’un feu de forêt selon un modèle d’automate cellulaire. Afin de modéliser la propagation, on modélise la forêt en une grille, et on considère que l’évolution de chaque case de la grille va dépendre des cases alentours (ou à une certaine distance).A un instant t (le temps est discrétisé en tours) une forêt est composée d’arbres, d’arbres en feu, et de cendres. Par exemple, on pourra dire qu’une case d’arbre prendra feu si il y a au moins 1 case d’arbre en feu à côté d’elle. Un arbre se sera totalement consumé au bout de x tours.
Il s’agit d’étudier, au travers d’une implémentation, la possibilité de propagation d’un feu de forêt, et les conditions d’arrêt de celui-ci. On pourra également prendre en compte le vents ou d’autres éléments.
Mots clés : automate cellulaire, propagation, modèle mathématique, optimisation spatiale, espéranceIl s’agit d’étudier, au travers d’une implémentation, la possibilité de propagation d’un feu de forêt, et les conditions d’arrêt de celui-ci. On pourra également prendre en compte le vents ou d’autres éléments.
Article : Le redécoupage électoral ou Gerrymandering - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Le gerrymandering est un terme anglo-saxon désignant la pratique consistant à découper la carte électorale de façon plus ou moins artificielle de manière à avantager un parti ou candidat. Dans ce travail, les élèves montrent quelles mathématiques se cachent derrière un gerrymandering efficace.
Mots clés : combinatoire, statistiqueDiaporama : Stratégies dans les jeux. - Collège l’Impernal (Luzech)
Peut-on trouver une stratégie pour gagner à coup sûr au jeu des allumettes ?
Et au morpion ?
Mots clés : stratégie, analyse de jeu, jeu de NimEt au morpion ?
Article : Dénombrement des arbres enracinés - Lycée Emile Duclaux (Aurillac)
Un arbre enraciné est représenté mathématiquement en choisissant une racine, et en lui faisant pousser des branches, puis au bout de ces branches d'autres branches, etc. Chaque jonction est un nœud de l'arbre. Cet article propose, pour un entier n donné, de compter le nombre d'arbres enracinés à n nœuds.
Préparez-vous pour un beau voyage au pays des combinaisons avec et sans répétitions, aboutissant après plusieurs démonstrations par récurrence, à une superbe formule ! Les élèves ont ensuite écrit un programme en langage Python pour calculer les premières valeurs à l'aide de leur formule.
Mots clés : arbre, arbre enraciné, dénombrement, combinatoire énumérativePréparez-vous pour un beau voyage au pays des combinaisons avec et sans répétitions, aboutissant après plusieurs démonstrations par récurrence, à une superbe formule ! Les élèves ont ensuite écrit un programme en langage Python pour calculer les premières valeurs à l'aide de leur formule.
Article : Additions pannumériques. - Collège Henry de Montherlant (Neuilly en Thelle)
On veux faire l’addition de deux nombres entiers à trois chiffres pour en obtenir un troisième de telle façon que tous les chiffres de 1 à 9 apparaissent dans cette addition. Commencez par trouver quelques exemples...Que peut-on remarquer concernant les chiffres du résultat de l’addition ? Est-ce une coïncidence ? Peut-on faire la liste de toutes les additions répondant à la question ?
Mots clés : addition, arithmétiqueArticle : Nombre de chemins à New-York - Lycée Paul Guérin (Niort)
On détermine les nombres de chemins pour aller d'un point à un autre dans une grille rectangulaire puis on généralise la question à des grilles avec des segments manquants, à des grilles hexagonales, à des réseaux en trois ou plusieurs dimensions et à des grilles sur des cylindres.
Mots clés : grille, chemin, combinatoire, coefficient binomial, coefficient multinomialArticle : Hyperbolic tilings - Lycée Żmichowska (Varsovie)
Cet article présente la construction à l’aide de Geogebra de plusieurs pavages du disque hyperbolique à partir d’un triangle ou un quadrilatère en utilisant des inversions.
Mots clés : pavages, géométrie hyperbolique, inversionArticle : ENI game and probability - Lycée Żmichowska (Varsovie)
The ENI game is a generalization of a well-known guessing game with second chance. There are two players, H and S, and there is a treasure hidden by H and to be found by S in one of n>2 different locations. After a first guess of S, the correctness of the guess is not reveiled by H, who instead reveals for some other location than the guess, and other than the location where is the treasure, that the treasure is not there. After that, S can stick to his original guess, or make another guess. The question is which strategy is better, statistically speaking. The of the article; it must give a good description of the subject and also give the main resultson webpageposted this abstract will be authors first show the results of an excel simulation and of a scratch program, before doing a mathematical analysis which provides a complete and correct mathematical formula. The results all confirm that it is better for S to make another guess, i.e. never stick to his original choice.
Mots clés : probabilité, simulationArticle : La calculatrice aux touches magiques - Collège l’Estaque (Marseille)
Une calculatrice possède trois touches supplémentaires :
• La première calcule la somme des chiffres d’un nombre entier.
• La seconde calcule le produit des chiffres d’un nombre entier .
• La troisième calcule la somme des carrés des chiffres d’un nombre entier.
Que se passe-t’il si on prend un nombre entier et qu’on appuie plusieurs fois sur une de ces touches ?
Mots clés : suite de nombres entiers, arithmétique, nombres base 10, divisibilité par 9, Scratch• La première calcule la somme des chiffres d’un nombre entier.
• La seconde calcule le produit des chiffres d’un nombre entier .
• La troisième calcule la somme des carrés des chiffres d’un nombre entier.
Que se passe-t’il si on prend un nombre entier et qu’on appuie plusieurs fois sur une de ces touches ?
Article : Compter les 1 par paquets de 2 - Lycée Carnot (Paris)
Dans ce travail, on étudie une variante de la suite de Conway. La règle adoptée ici ne prend pas en compte les triplets – de sorte que “111” est transformé en “2111” et que les termes de la suite contiennent seulement les chiffres 1 et 2 –, et les “2” ne sont pas regroupés – de sorte que “22” est transformé en “1212”. La notion de “motif” est introduite, ce qui permet de construire les termes de la suite d’une manière simple. Les motifs sont également utilisés pour calculer la proportion de 1 et de 2 pour chaque terme. Pour les termes d’indice assez grand, ces pourcentages sont calculés à l’aide d’un programme en Python. Ils apparaissent se stabiliser à des valeurs proches de 60% et 40%.
Mots clés : suite de Conway, combinatoire des mots, substitution, système linéaireArticle : S’échapper du manège diabolique - Lycée Carnot (Paris)
Une puce se trouve sur un plateau circulaire de rayon r et s'y déplace en faisant des petits sauts de longueur inférieure ou égale à s. Entre chaque saut de puce, un robot fixé à l'extérieur du plateau peut le faire tourner en déplaçant le bord d'une longueur inférieure ou égale à t. La puce ne peut s'échapper du plateau que si elle atteint le bord en dehors des bras du robot (qui sont de longueur t). Quelles sont les positions où la puce a une stratégie permettant de s'échapper ?
Mots clés : jeu, géométrie, poursuiteArticle : Graphes numérotés - Lycée Paul Guérin (Niort)
On considère un graphe à n arêtes. On numérote chacun des sommets avec des entiers tous différents compris entre 0 et n. Chaque arête se voit alors attribuer la différence absolue entre les numéros de ses deux sommets. Le but est de savoir s'il est possible que les arêtes soient ainsi numérotées de 1 à n.
On traite ici le cas des graphes "en ligne", "en pissenlit" et cycliques.
Mots clés : grapheOn traite ici le cas des graphes "en ligne", "en pissenlit" et cycliques.
Narration de recherche : Une couverture pour un petit serpent - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Explications du sujet "La couverture du petit serpent" expliqué par les élèves le samedi 27 juin
Mots clés : aireArticle : Les tours de Hanoï dans tous leurs états - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Cet article en anglais étudie le nombre minimal de coups nécessaires au déplacement d’une tour de Hanoi dans le cas classique et en imposant la contrainte supplémentaire que chaque pièce ne soit déplacée que sur un pilier voisin.Les solutions sont données par une récurrence et par un algorithme en C++.
Mots clés : combinatoire, algorithmiqueArticle : Constructions par pliage - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This work presents geometric constructions by folding paper. It is shown how to obtain any arbitrary positive rational length, the square root of any given length already built and finally the trisection of an angle. The structure of all numbers that are constructible by folding paper is investigated and they are put in comparison to those obtained by straightedge and compass constructions, showing that paper folding allows more possibilities.
Mots clés : pliage, nombre constructible, nombre rationnel, racine carrée, trisection de l'angleArticle : The construction of fair 5-sided dice - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Is it possible to construct a solid, with 5 faces for example, such that the probability of getting each face is the same, 1/5 in the example with 5 faces?
The problem's statement is equivalent to constructing a 5-sided fair dice. Such dice with 4 and 6 faces respectively already exist and are quite popular (for 4 faces there is the tetrahedron and for 6 faces the cube). In this article we will try to construct a 5-sided dice and from there an n-sided dice (n >= 4).
Mots clés : probabilité, dé, polyèdre, approche expérimentaleThe problem's statement is equivalent to constructing a 5-sided fair dice. Such dice with 4 and 6 faces respectively already exist and are quite popular (for 4 faces there is the tetrahedron and for 6 faces the cube). In this article we will try to construct a 5-sided dice and from there an n-sided dice (n >= 4).
Article : Titus et Pollux: Un jeu de points et de traits - Lycée Jean-Paul Sartre (Bron) Lycée Edouard Herriot (Lyon)
Deux joueurs s'affrontent dans un jeu sur le plan, Titus et Pollux.
Titus trace des traits de longueur 1 et Pollux dessine des points dans le plan, ils jouent à tour de rôle. L'objectif de Titus est de fermer une surface d'aire la plus grande possible qui ne contienne aucun point de Pollux. L'objectif de Pollux est de limiter le plus possible l'aire que Titus va créer.
Les traits de Titus peuvent se croiser mais il n'a pas le droit de faire des traits sur les points de Pollux. De la même façon, Pollux n'a pas le droit de faire des points sur les traits de Titus.
Comment doivent jouer Pollux et Titus pour se rapprocher de leurs objectifs ?
Pour un entier k, quel est le plus grand polygone à k côtés que Titus peut réussir à fermer ?
Mots clés : jeu, polygone, aire, stratégieTitus trace des traits de longueur 1 et Pollux dessine des points dans le plan, ils jouent à tour de rôle. L'objectif de Titus est de fermer une surface d'aire la plus grande possible qui ne contienne aucun point de Pollux. L'objectif de Pollux est de limiter le plus possible l'aire que Titus va créer.
Les traits de Titus peuvent se croiser mais il n'a pas le droit de faire des traits sur les points de Pollux. De la même façon, Pollux n'a pas le droit de faire des points sur les traits de Titus.
Comment doivent jouer Pollux et Titus pour se rapprocher de leurs objectifs ?
Pour un entier k, quel est le plus grand polygone à k côtés que Titus peut réussir à fermer ?
Diaporama : Colonie de fourmis - Collège Alain Fournier (Orsay)
On dispose sur un segment un certain nombre de fourmis, orientées vers un côté ou l’autre. Le segment mesure un mètre et les fourmis se déplacent à la vitesse d’un mètre par minute. Lorsque deux fourmis se rencontrent, elles changent de sens et continuent leur route. Lorsqu’elles arrivent au bord du segment, elles tombent. Au bout de combien de temps toutes les fourmis seront-elles tombées ?
Mots clés : somme de distances, segmentDiaporama : Galerie d’art - Collège Alain Fournier (Orsay)
Comment surveiller une galerie d'art de forme polygonale avec un minimum de gardiens ?
Mots clés : polygone, convexe, triangle, optimisationDiaporama : Ruches d’abeilles - Collège Alain Fournier (Orsay)
Analyse de différents pavages du plan, l’objectif étant de trouver des pavages du plan par des motifs polygonaux, de telle façon que ces pavages maximisent le rapport (aire du motif/périmètre du motif).
Mots clés : géométrie du plan, trigonométrie, théorème de Pythagore, polygone régulierDiaporama : Polyominos de périmètre minimal - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un polyomino est un assemblage de carrés unité collés bord à bord. Etant donné un certain nombre de carrés n, quel est le plus petit périmètre que l'on peut obtenir en construisant des polyominos à n carrés ?
Diaporama : Théorème des 5 couleurs - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un graphe planaire est obtenu de la façon suivante : on choisit des points du plan que l'on appelle les sommets. On peut ensuite choisir de les relier des points distincts par des segments, appelés arêtes, telles qu'elles ne s'intersectent pas.
Un coloriage de graphe consiste à attribuer à chaque sommet du graphe une couleur, de façon que deux sommets reliés par une arête soient de couleurs différentes.
Étant donné un graphe planaire, est-il possible de le colorier avec cinq couleurs ?
Mots clés : graphe, arête, sommetUn coloriage de graphe consiste à attribuer à chaque sommet du graphe une couleur, de façon que deux sommets reliés par une arête soient de couleurs différentes.
Étant donné un graphe planaire, est-il possible de le colorier avec cinq couleurs ?
Diaporama : Coloriage de polyèdres - Collège Alain Fournier (Orsay)
Le sujet initial est le suivant : combien y a t il de manières de colorier un cube avec une, deux, trois, … ou six couleurs distinctes. Le diaporama répond à cette question en utilisant la représentation du cube sous forme de patron et en tenant compte des rotations qui conservent le cube. Les élèves ont ensuite étendu leur étude au cas du dodécaèdre en cherchent le nombre de coloriages du dodécaèdre avec 12 couleurs différentes.
Mots clés : polyèdre régulier, cube, dodécaèdreArticle : Fixed points - Liceo Scientifico R. Bruni (Padova)
Les auteur·es se sont intéressé·es à l’existence de fonctions croissantes sans aucun point fixe définies d’un ensemble dans lui-même.
Mots clés : fonction croissante, point fixe, raisonnement par l'absurdeArticle : Half-plane geometry - Liceo Scientifico R. Bruni (Padova)
This article studies the geometry of Poincaré's half-plane, i.e. the half-plane limited by a straight h where the lines are half-circles centered on h, and where the axioms of classical Euclidean geometry hold except for the axiom of parallel lines. Lacking the notion of distance, congruence between segments is introduced by constructing shifts from one line to another. After that, it is shown that the sum of the angles of a triangle is always less than 180 degrees and then the properties of many polygons are investigated.
Mots clés : géométrie hyperbolique, demi-plan de Poincaré, triangle, polygoneArticle : Savoir compter jusqu’à 1 - Collège André Abbal (Carbonne) Collège Nelson Mandela (Noé)
Il s'agit de trouver un/les nombre/s N tels que, lorsqu'on écrit en base 10 tous les nombres entre 1 et N, le nombre de 1 dans cette écriture est exactement égal au nombre N lui-même.
Ce qui est fait : les élèves établissent une formule donnant le nombre de un dans l'écriture en base 10 de 10^n. Au vu de cette formule ils pensent que des réponses à la question posée doivent se trouver vers 10^{10}
En utilisant un petit programme, ils en trouvent un certain nombre.
Mots clés : base de numérationCe qui est fait : les élèves établissent une formule donnant le nombre de un dans l'écriture en base 10 de 10^n. Au vu de cette formule ils pensent que des réponses à la question posée doivent se trouver vers 10^{10}
En utilisant un petit programme, ils en trouvent un certain nombre.
Article : Les triangles magiques - Collège André Abbal (Carbonne) Collège Nelson Mandela (Noé)
Un triangle de nombres entiers est dit parfait s'il contient une fois, unique, chacun des nombres de 1 au nombre d'éléments du triangle, et que sous deux nombres du triangle soit placée la différence de ces nombres en valeur absolue. On détermine tous les triangles parfaits de hauteur 2 ou 3, certains triangles parfaits de hauteur 4, et quelques propriétés générales sont établies ou conjecturées.
Mots clés : entier naturel, différenceArticle : Don’t cross the streams - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Les chasseurs de fantômes « Ghostbusters » utilisent des rayons pour neutraliser les fantômes. Mais ces rayons ne se doivent pas se croiser. Pour un même nombre donné, quelconque, de fantômes et de Ghostbusters, on montre que, si il n'y a pas trois points alignés, il est possible d'associer un fantôme à tout Ghosbuster de façon que les rayons joignant chaque Ghostbuster à son fantôme ne se croisent pas. Deux preuves différentes sont données, et on montre comment l'une d'elles permet de construire une solution.
Mots clés : bijection, somme de distances, algorithme récursifArticle : Dessinons un mot plié - Lycée Jean-Paul Sartre (Bron) Lycée Edouard Herriot (Lyon)
Prenez une longue bande de papier et pliez la en deux en ramenant le côté droit sur le côté gauche. Recommencez ainsi jusqu’à ne plus pouvoir plier (toujours en ramenant le côté droit sur la gauche). Marquez bien tous les plis puis dépliez. Sur le morceau de papier, il y a une suite de plis creux (C) et de plis bosse (B). Si l’on a plié trois fois la bande, on devrait obtenir la séquence (appelée mot) suivante : CCBCCBB. Pouvez-vous deviner quelle serait le mot obtenu en pliant plus de fois la bande ?
Si on reprend notre morceau de papier qu’on laisse naturellement le papier se plier avec des angles à 90° (sens trigonométrique pour les plis
bosse et horaire pour les plis creux), quelle forme obtient-on ?
Voici les questions que nous nous sommes posées et auxquelles nous avons tâché de répondre. Pour ce faire, nous avons trouvé deux méthodes
pour construire les mots sans papier. De ces méthodes nous avons dégagé des propriétés. Nous avons ensuite étudié la représentation…
Mots clés : combinatoire des mots, mot à 2 lettresSi on reprend notre morceau de papier qu’on laisse naturellement le papier se plier avec des angles à 90° (sens trigonométrique pour les plis
bosse et horaire pour les plis creux), quelle forme obtient-on ?
Voici les questions que nous nous sommes posées et auxquelles nous avons tâché de répondre. Pour ce faire, nous avons trouvé deux méthodes
pour construire les mots sans papier. De ces méthodes nous avons dégagé des propriétés. Nous avons ensuite étudié la représentation…
Article : Trouver des règles pour l’addition de surréels - Lycée Jean Monnet (Blanquefort)
Cet article étudie l'écriture des nombres rationnels dyadiques comme nombres surréels, représentés sous forme de suites finies de symboles + et - ; on établit des algorithmes pour la lecture et l’écriture d’un nombre sous ce format, puis pour l’addition de deux surréels de ce type ; la représentation est étendue ensuite à quelques rationnels non dyadiques.
Mots clés : nombre surréel, addition, algorithmeArticle : Bataille Navale - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Dans un jeu de bataille navale sur une grille de taille n*N, on se demande, étant donné un bateau dont on connaît la forme, combien de coups sont nécessaires pour être assuré de toucher le bateau. Les élèves résolvent précisément le cas d’un bateau 1*3 sur une grille n*n, et fournissent un programme informatique pour toucher un bateau de taille 1*k sur une grille n*N (sans prouver la correction de ce programme).
Mots clés : combinatoire discrèteArticle : Le jeu des 50 boîtes - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Le problème consiste à chercher une stratégie gagnante dans un jeu appelé “jeu des boîtes”. Il y a un certain nombre fixé des boîtes alignées ; chacune contient un certain montant, connu. Deux joueurs, alternativement, prennent une boîte à l’une des extrémités de la ligne. Le gagnant est qui a le plus gros score quand toutes les boîtes ont été prises. Les élèves ont analysé au début le cas où il y a une boite qui, si elle est prise, permet au premier joueur de gagner, le “nombre fort”. Initialement avec 4 boîtes, après pour un nombre pair quelconque de boîtes. Enfin ils ont trouvé une stratégie pour permettre au premier joueur de gagner (ou au pire d’égaliser), avec un nombre pair de boites, mais sans qu'il y ait nécessairement un nombre fort.
Mots clés : récurrence, stratégie, stratégie gagnante, partageArticle : La tablette empoisonnée - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Sur une plaquette de chocolat dont un carreau est empoisonné, deux joueurs s’affrontent pour ne pas avoir à manger le carreau en question. La question posée est la suivante : y a-t-il une stratégie gagnante à tous les coups ? Après avoir proposé plusieurs stratégies, les auteurs étudient le nombre de coups nécessaires pour gagner, et étendent le problème à des dimensions supérieures.
Mots clés : jeu, jeu de Chomp, combinatoire, récurrence, stratégie, aléatoireArticle : Permutation of digits - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
À partir d’un entier donné n, on choisit de prendre son écriture en base 2 ou en base 3, puis on applique aux chiffres ainsi obtenus une permutation de son choix, puis on convertit le résultat en base 10 pour obtenir un résultat T(n). Cette transformation n → T(n) n’est pas déterministe, elle dépend du choix de la base et du choix de la permutation.
Le sujet consiste à étudier l’effet de l’itération de cette transformation. La première question consiste à déterminer si on peut parvenir au résultat 1 à partir de n’importe quel entier (en faisant à chaque étape des choix judicieux). La deuxième question est de savoir si il existe des entiers pour lesquels on peut obtenir une suite d’itérations non bornées.
La troisième question est d’étudier une généralisation en remplaçant les bases 2 et 3 par p et q.
La réponse à la question 1 est oui, une preuve élégante et constructive en est donnée.
Des éléments de réflexions sont donnés pour les question 2. et 3. mais la réponse n’est pas…
Mots clés : arithmétique, numérationLe sujet consiste à étudier l’effet de l’itération de cette transformation. La première question consiste à déterminer si on peut parvenir au résultat 1 à partir de n’importe quel entier (en faisant à chaque étape des choix judicieux). La deuxième question est de savoir si il existe des entiers pour lesquels on peut obtenir une suite d’itérations non bornées.
La troisième question est d’étudier une généralisation en remplaçant les bases 2 et 3 par p et q.
La réponse à la question 1 est oui, une preuve élégante et constructive en est donnée.
Des éléments de réflexions sont donnés pour les question 2. et 3. mais la réponse n’est pas…
Article : Problème d’échiquier - Lycée Valin (La Rochelle) Lycée Cordouan (Royan)
Sur un échiquier n x n, une tour est placée sur la case en bas à gauche et doit rejoindre la case en haut à droite en ne se déplaçant que vers le haut ou vers la droite. On détermine les nombres de manières de placer n pions sur l’échiquier, deux pions ne pouvant se trouver ni sur une même ligne ni sur une même colonne et en excluant les cases de départ d’arrivée de la tour, de façon que celle-ci soit empêchée, ou non, d’atteindre sa destination.
Mots clés : combinatoire, dénombrementArticle : Des particules qui s’agglutinent - Lycée Carnot (Paris)
Des particules se trouvent dans l'espace, à chaque instant les deux plus éloignées se rejoignent en leur milieu. Les questions qui se posent sont les suivantes : ce système converge-t-il vers un unique point final en un nombre fini d’étapes ? Si oui, peut-on déterminer ce nombre ? Peut-on connaître les coordonnées du point final ?
Les auteurs ont montré que le seul point possible qui peut être atteint à la fin de l’algorithme est le barycentre du système. Ils ont illustré le comportement du système à 4 points par des simulations numériques et montré que le système à 3 points termine sur un seul point en un nombre infini d’étapes, sauf cas exceptionnels.
Mots clés : système dynamique discret, centre de gravité, PythonLes auteurs ont montré que le seul point possible qui peut être atteint à la fin de l’algorithme est le barycentre du système. Ils ont illustré le comportement du système à 4 points par des simulations numériques et montré que le système à 3 points termine sur un seul point en un nombre infini d’étapes, sauf cas exceptionnels.
Article : Évitons les carrés constants - Collège Jean Jaurès (Calais)
On considère des tableaux rectangulaires binaires (ne contenant que des 0 et des 1). On voudrait en construire satisfaisant la contrainte suivante: ne contenir aucun sous tableau 2*2 constant de forme carrée.
Le but est de former le plus grand tableau binaire.
Mots clés : tableau, binaire, carré, combinatoireLe but est de former le plus grand tableau binaire.
Article : Des cadenas et des lettres - Lycée d’Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Once we obtained the answer to the problem-proper, we decided to extend the research and determine the letters which should be written on the dials considering how many dials and how many letters per dial we take into account. It is important to specify that this approach to the problem is a practical one.
Mots clés : combinatoire, étude de fréquenceArticle : Terrier de marmottes - Lycée d’Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This article provides an algorithm to compute a tree with minimum weighted path length from the root.
Mots clés : arbre binaire, HuffmanArticle : SOS fantômes - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Sur un plan on a dix chasseurs et dix fantômes, chacun représenté par un point, tels que trois de ces points ne soient jamais alignés. On veut relier chaque chasseur à un unique fantôme de sorte que les segments formés ne se coupent pas. Trois approches ont étés explorées : la première ne donne pas un résultat concluant, la deuxième appelée “méthode des partages” consiste à séparer intelligemment le plan pour ramener le problème à deux problèmes avec moins de personnages, et enfin la dernière dite “méthodes des croisements/décroisements” donne un algorithme constructif fonctionnel.
Mots clés : géométrie du plan, distance, algorithmique, ScratchNarration de recherche : Les graphes - Collège la Rose blanche (Paris)
Ce compte-rendu de recherche présente l'objet " graphe" et les premières définitions qui lui sont associées ainsi que trois résultats accessibles pour les lecteurs de 5ème, le lemme des poignées de main, le théorème d'Euler-Descartes et le théorème des quatre couleurs.
Mots clés : graphe, formule d'Euler, théorème des quatre couleursNarration de recherche : La monnaie à Diophantie - Collège la Rose blanche (Paris)
On se demande quels sont les prix payables avec uniquement deux pièces de monnaies de valeur entière, en rendant la monnaie. Les auteurs énoncent le résultat : on peut payer tous les prix si et seulement si les valeurs sont deux entiers premiers entre eux. Ils prouvent que cette condition est nécessaire et la réciproque est illustrée par des exemples.
Mots clés : arithmétique, théorème de BézoutArticle : Le dobble - Collège la Rose blanche (Paris)
Le Dobble est un jeu d’observation et de rapidité, composé de 55 cartes, sur chacune desquelles sont imprimés 8 symboles. Au total, le jeu présente 57 symboles différents. La règle est simple : lorsque deux cartes sont retournées, il faut être le premier à trouver le symbole commun. Il est fondé sur la propriété suivante : deux cartes quelconques possèdent exactement un seul symbole en commun. Comment créer le jeu pour respecter cette propriété ?
Narration de recherche : La pyramide habitée - Collège la Rose blanche (Paris)
Dans une très grande pyramide habitée, les appartements sont disposés et numérotés à la suite à partir du haut. Marc habite au numéro 2012. Yann, son voisin du dessus joue de la musique beaucoup trop fort. Marc en a assez et voudrait aller le voir. Dans ce travail, on l'aide à trouver le numéro de l’appartement de Yann.
Mots clés : carré, racine carrée, partie entière, pyramide de nombresArticle : La danse des planètes - Lycée Arago (Perpignan)
Partant de la loi de gravitation universelle d'Isaac Newton, cet article établit et résout les équations du mouvement d'une planète soumise à l'attraction du Soleil. Les conséquences d'un changement de cette loi sur la trajectoire des planètes sont étudiées dans les cas où les équations peuvent être résolues.
Avertissement : la lecture de cet article nécessite des connaissances au delà du niveau lycée.
Mots clés : mécanique, gravitation, planète, équation différentielleAvertissement : la lecture de cet article nécessite des connaissances au delà du niveau lycée.
Article : The Big Gap- Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) Collège Sainte Véronique (Liège)
À partir d'une suite de 4 nombres , on calcule leurs écarts en valeur absolue, circulairement ; on recommence en calculant les écarts de ces derniers et on continue ainsi de suite tant qu'on n'a pas obtenu des écarts tous nuls. Arrivera-t-on à une ligne de 0 ? On résout ici les cas de nombres entiers, rationnels ou réels, et on établit les résultats pour ce problème dans le cas général d'une suite de n nombres, selon la valeur de n.
Mots clés : différence, itération, puissance de 2, modulo 2, équation algébriqueArticle : Let's change the rules - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
Des critères de divisibilité par 7, 11, 13 et 19 sont présentés.
Mots clés : congruence, critère de divisibilitéArticle : Les routes de la ville - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) Collège Sainte Véronique (Liège)
Il était une fois une ville comptant 10 maisons mais aucune route. Il était fort difficile de se déplacer en temps de pluie car les voitures avaient une fâcheuse tendance à s'embourber. Après de nombreuses plaintes des habitants le bourgmestre se décide à faire construire des routes et demande donc à des experts de préparer un plan de ville sur base de deux principes simples et sains : il faut que n'importe quelles deux maisons soient joignables par la route ; il faut que cela coûte le moins cher possible. Si le prix d'une route est linéaire en sa longueur, quelle est la construction optimale?
Article : Light trap - Lycée Żmichowska (Varsovie) Lycée Vicat (Souillac)
Consider a plane figure f made of two sides AB and BC of a triangle and a ray of sun that slides into f and then emerges after 3 reflections. Find the measure of the angle and the direction of the ray so that we will obtain the maximum of reflections? Is it possible to obtain 4 / 5/ 6 / 11 reflections? Is it possible that the ray never comes out, that is to say, the number of reflections is infinite? If not, can we build another non-closed plane figure for which we can determine a ray of sun that gets trapped?
Mots clés : géométrie, Geogebra, réflexionArticle : Bras articulés I - Lycée Stéphane Hessel (Vaison la Romaine)
Il s’agit de déterminer les ponts atteignables par l’une des extrémités d’un bras articulé lorsque l’autre extrémité est fixe. Deux cas sont étudiés : le bras articulé-en deux parties (cas entièrement traité) et le cas où le bras est formé de trois segments (dans ce cas seules des conjectures sont données)
Mots clés : lieu géométrique, cercle, distance