Publications MATh.en.JEANS

Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)

Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.

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Article : Le mirage prend l’eau - École des pupilles de l’Air (Montbonnot St Martin)
Article
L'article s'intéresse à la naissance des mirages, et plus particulièrement étudie la trajectoire d'un rayon lumineux dans une bassine contenant deux liquides superposés, d'indices de réfraction différents. En modélisant l'interface entre les deux liquides comme un milieu mince où l'indice varie continûment entre les deux indices, et en discrétisant ce milieu en k sous-couches dans lesquelles l'indice est constant (puis en faisant tendre k vers l'infini), l'article démontre que le rayon à l'intérieur de l'interface suit une forme de parabole. En particulier, le rayon descendant peut remonter et ainsi créer un mirage.
Mots clés : modélisation, réfraction, discrétisation, analyse géométrique, équation différentielle, parabole
Article : Géométrie tropicale - Collège Fontreyne (Gap)
Article
Dans cet article sont étudiées les propriétés des opérations tropicales (min pour l'addition, l'addition « classique » pour la multiplication) : commutativité, associativité, éléments neutres, absorbants …
Puis les élèves présentent une étude des droites tropicales et terminent par cette constatation : deux points du plan sont toujours alignés sur une même droite tropicale , mais il existe plusieurs droites tropicales passant par deux point quelconques
Mots clés : géométrie tropicale, addition, multiplication, commutativité, associativité, puissance, racine, droite tropicale
Article : Un peu de combinatoire - Collège Fontreyne (Gap)
Article
Roméo veut offrir un collier à Juliette. a) Roméo a trois perles blanches identiques et quatre perles noires identiques. Combien peut-il faire de modèles de colliers différents? b) Roméo a quatre perles blanches et cinq perles noires. Combien peut-il faire de modèles de colliers différents? Roméo veut préparer des brochettes à Juliette. A) Il a trois cubes d'agneau identiques et quatre morceaux de merguez identiques. Combien peut-il faire de modèles de brochettes différents ? B) Il a quatre cubes d'agneau et cinq morceaux de merguez. Combien peut-il faire de modèles de brochettes différents ? Roméo et Juliette ont un damier 3*3 (9 cases). Roméo doit peindre quatre positions en bleu et Juliette doit peindre cinq positions en rouge. Combien de damiers différents peuvent-ils obtenir ?
Mots clés : dénombrement, combinatoire, enumération
Article : Les surplombs - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Comment peut on empiler des briques de même taille l'une au dessus de l'autre en réalisant un surplomb maximal par rapport à la brique « support » tout en maintenant l'édifice en équilibre, et en utilisant le moins de briques possible ? L'article montre que cela est possible en indiquant la manière dont sont disposées les briques les unes au dessus des autres.
Mots clés : surplomb, modélisation, centre de gravité, suite, série
Article : Roulement à billes - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Considérons des billes qui forment un roulement à billes entre deux cercles ayant même centre. Combien de billes pourra-t-on insérer si on bouge le cercle intérieur du roulement à billes ? Ce texte propose des majorations dans le cas où on ne bouge pas le cercle intérieur ainsi que dans le cas où les deux cercles se touchent.
Mots clés : cercle, géométrie plane, optimisation, périmètre, remplissage, angle, bille
Article : Topologie - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Article
Deux problèmes sont abordés: Quels graphes peuvent être dessinés en un seul coup de crayon sans passer plusieurs fois par une arête ? Trouver pour un polyèdre la relations entre les nombres de sommets d’arêtes et de faces. La première question est illustrée par le problème des ponts de Könisberg.
Mots clés : topologie, graphe, polyèdre
Article : Cryptographie - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Article
Trois techniques de chiffrement (César, monoalphabétique et Vigenère) sont proposées par le chercheur, qui donne également des textes chiffrés. Dans l'article il est expliqué comment déchiffrer ces textes..
Mots clés : cryptographie, codage de Vigenère
Article : Les pingouins shadok - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Article
Les pingouins shadoks ne savent prononcer que trois syllabes : Ga, Bu et Meu. Le grammairien Gaga a instauré une règle de langage : il est interdit de répéter le même groupe de syllabes consécutivement. Par exemple Gabumeumeu est interdit car la syllabe «meu» est répétée consécutivement, de même pour Meubugabumeugabumeubu car le groupe de syllabes «gabumeu» est répété consécutivement. Au contraire un mot comme Gabumeugameubumeugabumeubuga est correct car il n'y a aucune répétition de groupe de syllabes consécutivement. Donc si X,Y et Z sont 3 groupes de syllabes différents, un mot est interdit si il peut s'écrire XYYZ avec X et Z pouvant être nuls. Pour simplifier on notera A,B et C les 3 syllabes différentes (cela ne veut pas dire que ga=A ,bu=B et meu=C).
Mots clés : mot, dénombrement, algorithme
Article : Chaînes d additions - Lycée Fragonard (L Isle-Adam)
Article
Etant donné un entier n, quelle est la plus courte suite d'entiers telle que le premier terme est 1, le dernier terme est n, et tout terme hormis le premier est la somme de deux des termes précédents (avec répétitions possibles) ? L'élève donne ici une borne supérieure explicite à l'aide de l'écriture en binaire de n, et une borne supérieure implicite à l'aide de sa décomposition en facteurs premiers.

Mots clés : suite de nombres entiers, exponentiation rapide
Article : Les voûtes - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Pour qu'un système composé de plusieurs « pierres » soit en équilibre il faut respecter les règles suivantes: Les frottements étant négligés, il reste la force du poids s'appliquant aux surfaces de contact de la pierre.
Mots clés : force, rotation, barycentre, voûte
Article : Volume du tétraèdre en fonction des côtés - Lycée Pierre d Aragon (Muret)
Article
Le carré de l’aire d’un triangle peut s’exprimer en fonction du carré des longueurs de ses côtés. Qu’en est il pour le tétraèdre ? En effet, la formule dite de Héron nous donne le carré de l’aire d’un triangle en fonction des carrés des longueurs des côtés. On peut donc se demander si une formule semblable existe pour le volume du tétraèdre.
Mots clés : tétraèdre, aire, carré, côté, hauteur, sinus, angle, volume
Article : Une partie de chasse - Collège Gérard Philippe (Cergy)
Article
Lors d'une partie de chasse, un chien court derrière un lièvre. Le lièvre court à foulées régulières, toujours à la même vitesse et dans une direction constante. Le chien, un peu à gauche du lièvre, court à la même vitesse que celui-ci et infléchit toujours sa trajectoire de façon à ce que chacune de ses foulées le dirige vers l'extrémité de la dernière foulée du lièvre. Le chien arrivera t-il à rattraper le lièvre? Dans le cas négatif, de quelle façon le chien devra-t-il modifier sa stratégie de poursuite (vitesse, position au départ, inflexion de la trajectoire) pour qu'il puisse rattraper le lièvre? Au bout de combien de temps le rattrapera-t-il alors ?
Mots clés : distance, vitesse, poursuite
Article : Premier ou non premier, telle est la fonction ! - Lycée Saint Joseph (Bressuire)
Article
Recherche de fonctions donnant des images premières. Nombre premier : Un nombre est premier lorsqu’il a uniquement deux diviseurs distincts : 17 est premier, 2010 est non premier, 1 n’est pas considéré comme premier [sauf dans cet article à certains passages]. Polynômes d’Euler : Avec le polynôme proposé par Euler E1(n) = n2+n+41 les 40 premières images des nombres de 0 à 39 sont des nombres premiers : on dit que sa longueur est 40. Avec un autre polynôme d’Euler E1(n) = n2+n+17 on obtient 16 images consécutives premières : sa longueur est 16. Peut-on trouver d’autres polynômes ou fonctions donnant ainsi des images consécutives premières ? Peut-on faire mieux qu’Euler ?
Mots clés : nombre premier, polynôme, image, fonction, Euler, interpolation de Lagrange, variable, suite
Article : Le chant des sinusoïdes - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Mon problème était de décomposer un signal simple sous forme de somme de sinusoïdes. On appellera « signal simple » une somme de deux sinus avec des amplitudes entières et des périodes des multiples de 2pi.
Mots clés : sinus, somme, fréquence, amplitude, décodage
Article : Une propriété des entiers naturels - Collège des Explorateurs (Cergy)
Article
Que se passe-t-il si partant d’un entier naturel, on fait la somme des carrés de ses chiffres puis si on recommence avec la somme obtenue, puis qu’on recommence encore avec la somme obtenue etc...
Mots clés : nombre entier, calcul, somme, tableau
Article : Les produits qui ne s écrivent que avec des 1 - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens) Lycée Ozenne (Toulouse)
Article
Certains produits remarquables ne s'écrivent qu'avec des "1" . Par exemple : 37 × 3 = 111 ou encore 12345679×9=111111111 Peut−on en trouver d'autres ? Quelles règles peut−on trouver concernant ces produits ?
Mots clés : produit, dénombrement, redondance, algorithme
Article : Le jeu de ping - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Nous allons vous présenter le jeu de ping : nous avons des pions noirs d’un coté et blancs de l’autre. On part avec un alignement de n pions noirs qu’il faut arriver à tous retourner avec la règle suivante : quand on pointe un pion, on retourne ses voisins.
Mots clés : jeu de ping, dénombrement
Article : Les voûtes - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Une voûte est une succession de pierres associées pour former une arche. Comment ces pierres tiennent-elles ?
Mots clés : clé de voûte, centre de gravité, géométrie, angle, intersection
Article : La perspective - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Ce travail s'intéresse aux propriétés de la projection d'un cube sur un plan. Il se place dans le cadre d'un cube posé sur une face sur le plan de projection. On fournit plusieurs observations sur la construction de la forme de l'ombre obtenue, quelques unes de ses propriétés, et enfin des méthodes permettant de reconstruire le cube à partir d'une ombre donnée.
Mots clés : géométrie dans l'espace, géométrie projective, projection, perspective
Article : Détermination d une politique de pêche - Lycée Louis de Foix (Bayonne)
Article
Cet article introduit un ensemble de modèles pour décrire l'évolution d'une population de poisson (anchois) sous l'influence de la pêche. Le modèle principal repose sur une répartition de la population en 4 classes d'âge, chacune ayant ses taux de naissance et de mort propres. Les simulations numériques permettent de voir les conséquences des différents paramètres liées à une politique de pêche (quotas, taille minimale des poissons, limitation en deçà d'un certain seuil...).
Mots clés : système dynamique, suite récurrente, simulation
Article : Pavage d’un rectangle avec des carrés - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc) Lycée Montaigne (Bordeaux)
Article
Comment, en découpant un rectangle itérativement, faire apparaître le nombre d'or, les fractions continues ? On utilise le procédé suivant : on retire à un rectangle le maximum possible de carrés de côté égal à la largeur de ce rectangle. Il reste un rectangle plus petit, auquel on applique la consigne précédente, et ainsi de suite. Dans cet article, on démontre que le rapport longueur/largeur du rectangle initial est irrationnel si, et seulement si, le procédé s'ensuit infiniment, c'est à dire qu'à chaque étape, le rectangle restant a une largeur non nulle. On montre le lien entre le nombre de carrés que l'on retire à chaque étape et le développement en fraction continue du rapport longueur/largeur du rectangle initial. On démontre le lien entre cette construction et le nombre d'or et on développe plusieurs exemples concrets.
Mots clés : suite itérative, géométrie, division euclidienne, fraction continue, suite géométrique
Article : Pac Man fait le tour du monde - Lycée Condorcet (Bordeaux) Lycée Kastler (Talence)
Article
Le but est de trouver le plus petit tour de monde possible sur une Pac-planète qui est un tore construit sur un parallélogramme en identifiant ses côtés opposés. Les élèves étudient d'bord les cas particuliers où le parallélogramme est un carré, puis un losange et conjecturent que dans le cas d'un parallélogramme d'aire 1, le plus petit tour du monde possible est majoré par 2/√π
Mots clés : tore, parallélogramme
Article : Les faux mélanges - Lycée Ozenne (Toulouse) Lycée Saint Sernin (Toulouse)
Article
On dispose d’un paquet de cartes. Le nombre de cartes de ce paquet est pair. On effectue avec ce paquet de cartes plusieurs mélanges out faro. Description d’un mélange out faro : On coupe le tas de cartes en deux parties égales. En premier, on pose la carte de dessous du tas de dessous, puis la carte de dessous du tas de dessus. On continue ensuite, de manière identique, en alternant les cartes de dessous du tas de dessous et les cartes de dessous du tas de dessus. Après avoir réitéré ce mélange sur plusieurs paquets de cartes, possédant chacun un nombre différent de cartes, on remarque que l’on retombe sur la disposition initiale des cartes. Les deux questions qui se posent alors sont : Quel que soit le nombre pair de cartes et quel que soit le mélange, retombe-t-on à chaque fois sur la disposition initiale des cartes ? Si oui, en combien de mélanges ?
Mots clés : jeu de cartes, mélange, out-faro, dénombrement, suite, récurrence
Article : Le mariage des filles de Ramdomie - Collège Gérard Philippe (Cergy) Collège des Explorateurs (Cergy)
Article
En pays de Randomie on a voulu contrôler la natalité en envisageant de ne pas accorder systématiquement l’autorisation au mariage; et dès qu'une fille demande l'autorisation de se marier, l'officier d'état civil lui place 6 morceaux de ficelles dans la main. De chaque côté du poing fermé dépassent 6 extrémités. De chaque côté, on choisit au hasard les extrémités par paires et on les noue (figure 1). Si on obtient alors une boucle fermée (figure 2), la fille reçoit l'autorisation de se marier. Sinon, elle recommence l'épreuve un an plus tard. Angie, qui vient d'avoir 18 ans voudrait se marier. Réussira t-elle à obtenir l'autorisation de se marier. Et si le nombre de ficelles était n ?
Mots clés : ficelle, aléatoire, dénombrement, probabilité
Article : Les polygones réguliers - Lycée Jean Moulin (Pézenas) Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Nous avons voulu construire des polygones réguliers mais avec des contraintes. Nous nous sommes d’abord demandé : comment les construire, en utilisant pour seuls instruments un compas et une règle non graduée ? Puis, comme nous n’avons pas réussi à tous les faire, la question de savoir quels sont ceux constructibles s’est posée.
Mots clés : polygone régulier, règle, compas, géométrie plane, angle, médiatrice, théorème de Gauss
Article : Le valeureux tableau absolutique - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens) Lycée Ozenne (Toulouse)
Article
Il s'agit d'étudier des tableaux dont chaque ligne contient les différences positives des nombres de la ligne précédente. Ce tableau se termine par des lignes de 0. Est-ce toujours le cas ? Quelles sont les propriétés de tels tableaux ?
Mots clés : tableau, valeur absolue, nombres consécutifs, colonne
Article : Le point le plus loin - Lycée Jean Moulin (Pézenas)
Article
Dans un rectangulaire défini, on cherche un point M situé le plus loin possible des autres points placés au hasard dans le rectangle.
Mots clés : rectangle, point, cercle, ellipse, concentrique
Article : Une suite à 4 chiffres - Lycée Jean Moulin (Pézenas)
Article
Prenons un nombre entier appartenant à l’intervalle I =[ 1000 ;10000[ , C’est à dire des nombres à 4 chiffres . Puis ce nombre ABCD , on le « retourne » et le lui soustrait : ABCD – DCBA . On prend la valeur absolue , c’est à dire que l’on calcule l’écart , et on recommence ainsi de suite .
Mots clés : valeur absolue, tableau, algorithme, multiple, suite
Article : Un jeu avec des entiers - Collège des Explorateurs (Cergy)
Article
On se donne quatre entier naturel a, b, c et d que l'on place sur une ligne. Sur une nouvelle ligne les valeurs absolues de : a-b, b-c, c-d et d-a . On continu ainsi pour les lignes suivantes. En prenant a=5, b=11,c=0 et d=2 on fini par obtenir une ligne constitué de quatre 0. Et donc toute les lignes suivantes sont constitués de quatre 0. Est-ce un coup de chance ou obtient-on toujours une ligne de quatre 0?
Mots clés : nombre entier, valeur absolue, tableau
Article : Jeu, set et math - Lycée Maine de Biran (Bergerac) Lycée Kastler (Talence)
Article
Pour gagner un match de tennis, il ne suffit pas d’être le meilleur, il faut savoir gagner les points importants ! ». Peut-on obtenir la victoire en gagnant moins de points que son adversaire ? Quel est le pourcentage minimum de points qu’un joueur peut gagner pour remporter un match ? Pour gagner la coupe Davis, vaut il mieux avoir une équipe avec un joueur fort et un joueur faible ou deux joueurs moyens ? Simulations de matches entre deux joueurs de même force ou des joueurs de forces différentes.
Mots clés : tennis, compter, moyenne
Article : En hommage à la mouche - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens)
Article
Deux araignées fâchées dans un garage veulent se placer le plus loin l'une de l'autre. Quelles positions doivent−elles choisir, en fonction des dimensions du garage ? Où sont placés les deux points les plus éloignés sur un pavé de côtés a, b et c?
Mots clés : géodésique, distance minimale, pavé, géométrie, patron
Article : Recherche de géodésiques - Collège Adulphe Delegorgue (Courcelles Les Lens)
Article
Une fourmi se promenant sur un solide veut rejoindre un pot de miel placé lui aussi à sa surface. Quel chemin doit-elle suivre pour que son trajet soit le plus court possible ? Le problème posé revient en fait à trouver le ou les chemins les plus courts reliant deux points situés sur la surface d’un solide. De tels chemins, si ils existent, sont appelés géodésiques du solide en question. Dans un premier temps, nous avons limité nos recherches au cas du cube et donc avons essayé de déterminer les géodésiques d’un cube.
Mots clés : géodésique, cube, distance minimale, patron, repère
Article : Recherche d extrema... - Collège Adulphe Delegorgue (Courcelles Les Lens)
Article
Un fermier possédant des champs régulièrement plantés d’arbres (ils forment ainsi un quadrillage régulier soit un réseau de points), veut délimiter une partie de ce champs par des barrières ayant sept de ces arbres pour extrémités. Il désire enfin obtenir soit la parcelle de plus grande surface possible soit de plus petite surface possible. Enfin, il décide de ne pas croiser ses barrières. Perdu, le fermier demande notre aide ...
Mots clés : aire, périmètre, théorème de Pythagore, heptagone, dénombrement, formule de Pick
Article : La force de l eau sur un barrage - Lycée Jean Moulin (Pézenas)
Article
Le sujet que nous avons choisi se nomme « La force de l’eau s’exerçant sur un barrage ». Il consiste comme son nom l’indique, de calculer la force (et non pas la pression) de l’eau s’exerçant sur un barrage. Mais pour que le sujet soit plus intéressant nous nous sommes fixé comme but de calculer cette force comme l’auraient fait de vrais chercheurs, c’est à dire en expliquant le plus possible nos formules, sans en utiliser des pré-établies.
Mots clés : force, pression, barrage, masse volumique, pesanteur
Article : Drôles d opérations - Collège Les Explorateurs (Cergy) Collège Gérard Philipe (Cergy)
Article
Voici comment Toto procède pour faire sa multiplication : Il dresse un tableau à deux colonnes. Dans la colonne de gauche, il divise par 2 à chaque fois le nombre mais sans écrire sa partie décimale (on oublie donc 0,5) c'est-à-dire sans tenir compte du reste. Dans la colonne de droite, il multiplie le nombre par 2 à chaque fois. Il prend les nombres de la colonne de droite qui sont en face d'un nombre impair et les additionne. Pourquoi la méthode à Toto est-elle bonne?
Mots clés : méthode de calcul, multiplication, tableau
Article : Une avalanche de dominos - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Comment disposer les dominos sur une longueur d’un mètre pour qu’ils tombent le plus vite possible ?
Mots clés : centre de gravité, rotation, domino, distance, théorème de Pythagore, vitesse
Article : Les coloriages du plan - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens) Lycée Ozenne (Toulouse)
Article
Comment colorier un plan (une feuille de dimension infinie) en respectant la condition suivante : si deux points sont distants de 1 unité, ils doivent être de couleurs différentes. Quelle est le nombre de couleurs minimum pour colorier tout le plan en remplissant cette unique condition ?
Mots clés : pavage, plan, infini, cercle, couleur, géométrie plane
Article : Les codes correcteurs - Lycée de l Image et du Son (Angoulême)
Article
Comment l’algèbre linéaire sur les corps finis permet-elle d’effectuer un codage et de détecter les erreurs de manière efficace en pratique ?
Mots clés : algèbre linéaire, code correcteur, matrice, codage, binaire, corps fini
Article : La chute des dominos - Lycée Jean Moulin (Pézenas)
Article
Tout le monde connaît le jeu consistant à aligner les dominos et à les faire tomber. Nous nous sommes demandé quels étaient les paramètres impliqués dans la rotation du domino. On a remarqué que suivant la distance qui sépare les dominos ils continuent de tomber ou ils s'arrêtent.
Mots clés : distance, domino, rotation
Article : Recherche de chemin minimal - Collège Adulphe Delegorgue (Courcelles Les Lens)
Article
Dans une société, les bureaux, aux positions fixes, de trois employés doivent être reliés à celui de leur supérieur par un réseau informatique. Bien évidemment le patron souhaite que cela soit le plus économique possible et cherche donc l’endroit où placer son bureau et permettant d’utiliser le moins de câble.
Mots clés : géométrie plane, triangle, orthocentre, distance
Article : Comment faire une carte juste de la Terre - Lycée Ozenne (Toulouse)
Article
Si l’on se pose la question de savoir comment on peut faire une carte de la Terre c’est parce qu’il est impossible de faire une carte juste de la Terre. En effet, le principe d’une carte est de représenter une surface courbe ( la sphère terrestre ) sur une surface plane ( une feuille de papier ). Or, une sphère ne peut être reportée dans un plan sans être déchirée ou altérée. Imaginons, par exemple, que nous pelions une orange en une seule fois et que nous essayons, ensuite, d’aplanir la peau sur une table. La peau se déchirerait sur le côté. Il en est de même pour la sphère terrestre. On ne peut donc pas conserver l’intégralité des propriétés géométriques ( angles, distances, surfaces ) de la surface à représenter. La méthode de projection retenue constituera donc un choix des caractéristiques à privilégier. Nous nous sommes ensuite posé deux questions plus précises : - Pourquoi ne peut-on pas faire une carte juste de la Terre ? - Peut-on faire une carte qui comporterait le moins d’erreurs possibles ?
Mots clés : sphère, surface, distance, carte, coordonnée
Article : Des carrés modulo p - Lycée Saint Joseph (Bressuire)
Article
Compte rendu du travail des élèves autour des congruences et des carrés.
Mots clés : modulo, théorème de Gauss, puissance, arithmétique, congruence
Article : Le calculateur à billes - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Le but de notre recherche consiste à créer une machine capable de réaliser des opérations relativement simples en binaire.
Mots clés : binaire, addition, maquette, bille
Article : Problème de billard - Lycée Ozenne (Toulouse) Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens)
Article
Comment lancer une boule de billard pour qu’elle revienne à sa position de départ après 9 bandes ? Après n bandes?
Mots clés : angle, symétrie, réflexion, bande, droite, équation
Article : L'optimisation de recherche en avalanche - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Habitant dans les Hautes-Alpes, nous avons pensé qu'il aurait été intéressant de travailler sur un sujet propre à la montagne tout en conservant bien sur l'aspect mathématique... L'ARVA remplissant ces conditions, nous nous sommes posés le problème suivant: Comment optimiser la recherche d'une victime prise dans une avalanche.
Mots clés : optimisation, loi de probabilité, marche aléatoire
Article : Eléphant et les bananes - Collège Joliot Curie (Fontenilles) Collège Cantelauze (Fonsorbe), Collège Victor Hugo (Colomiers)
Article
Un élèphant doit apporter au marché, distant de 1000 km, la production d'un marchand (3000 bananes). L'éléphant mange 1 banane au km et porte 1000 bananes au maximum sur son dos.Combien de bananes va-t-il amener au marché ?
Mots clés : transport, optimisation
Article : Les nombres magiques - Collège Joliot Curie (Fontenilles) Collège Cantelauze (Fonsorbe), Collège Victor Hugo (Colomiers)
Article
La pyramide des nombres magiques ...
Les égalités de la pyramide sont-elles vraies ?
Mots clés : pyramide, somme d'entiers, arithmétique
Article : Les angles du triangle des Bermudes - Lycée Jean Moulin (Pézenas)
Article
On n’a pas pu mesurer ces angles car sur le globe le triangle est trop petit. On s'est alors posé ces questions : comment tracer un triangle sur une sphère? Qu'est-ce qu'un angle sur une sphère?
Mots clés : sphère, angle, triangle
Article : Répartir uniformément 13 points sur une sphère - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens) Lycée Ozenne (Toulouse)
Article
Le problème s'est posé lorsqu'on a cherché à fabriquer un satellite facilement observable depuis la Terre. Il fallait placer un certain nombre de miroirs, de façon optimale, sur cette sphère de manière que, quelle que soit la position du satellite, un des miroirs soit dirigé vers la Terre. Répartir le plus uniformément possible 13 points sur une sphère signifie les répartir afin que la distance minimale entre les points soit la plus grande possible. Nous avons élargi le sujet à : comment répartir le plus uniformément possible des points sur une sphère ? Ainsi nous avons cherché pour 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13 et 14 points.
Mots clés : sphère, 3D, solide, tétraèdre, antiprisme, pentagone, dodécaèdre, polyèdre convexe, géométrie plane, géométrie dans l'espace
Article : Si la Terre était cubique - Lycée d’Altitude (Briancon)
Article
Notre travail de recherche a consisté à trouver les plus courts chemins entre deux points d'un cube et savoir s'ils étaient unique.
Mots clés : cube, patron, segment, cercle, chemin, intersection, médiatrice, médiane, face, arête, sommet
Article : Carrés magiques - Lycée Racine (Paris)
Article
Un carré magique est un carré dont les sommes des nombres des cases d'une ligne verticale, d'une diagonale ou d'une ligne horizontale sont égales. Le but de notre travail est de savoir comment peut-on construire un carré magique à partir d'entiers naturels consécutifs.
Mots clés : carré magique, addition, ligne, colonne, diagonale, nombre entier, nombres consécutifs, ordre
Article : Un vélo à roues carrées - Collège Henri Wallon (Marseille)
Article
Certaines civilisations n’ont pas utilisé la roue pour des raisons religieuses. A partir de là, nous nous sommes demandé comment ces peuples auraient dû construire leur route pour que leurs roues soient carrées.
Mots clés : vélo, roue, carré, courbe, paramètre, caustique, enveloppe, droite, infinitésimal, équation différentielle
Article : Un problème de billard - Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
On considère un billard rectangulaire et une boule lancée à une certaine vitesse selon un angle donné. On néglige les frottements. Que peut-on dire de la trajectoire de la boule ? Que se passe-t-il si le billard est triangulaire ?
Mots clés : billard, rectangulaire, angle, parallèle, parcours fermé, quadrillage, triangle équilatéral
Article : Un marchand intelligent - Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
Un marchand dispose du jeu suivant auquel tout individu peut jouer pour la somme de 10€. On dispose d’un sac rempli de 50 pièces jaunes et d’une pièce rouge indiscernables au toucher, seule la couleur diffère.
Le joueur suit le principe suivant :
(1) il tire une pièce, note sa couleur et la met de côté.
(2) il tire une pièce, si elle est de la même couleur que la précédente, il la met de côté et recommence en (1), si elle est de couleur différente, il la remet dans le sac et recommence en (1). Le joueur est considéré gagnant si la dernière pièce tirée est jaune, il repart dans ce cas avec la somme de 15€ (il gagne donc 5€).
Que dire de la stratégie du marchand ? Que se passe- t-il si on change le nombre de pièces jaunes et rouges ?
Mots clés : probabilité, arbre, urne, pièce, chaîne de Markov
Article : Triangles à trois couleurs - Cité Scolaire Internationale Europole (Grenoble)
Article
Un grand triangle est découpé en plusieurs petits triangles disposés «bord à bord» : deux petits triangles différents ne pevent partager qu’un de leurs sommets ou l’un de leurs cotés. On attribue alors à chaque sommet de petit triangle une couleur parmi 3 possibles, de manière à ce que (i) les sommets du grand triangle reçoivent des couleurs différentes, et (ii) chaque coté du grand triangle ne fait apparaître que 2 couleurs. On s’intéresse au nombre de petits triangles tricolores apparaissant dans de telles colorations : peut-il être nul ? Est-il toujours impair ?
Mots clés : triangulation, 3 couleurs, coloration, triangle, lemme de Sperner, graphe, plan
Article : Stratégie gagnante dans un jeu de partage - Lycée Lucie Aubrac (Bollène)
Article
Le jeu : on a une tablette de chocolat avec deux joueurs. Le joueur qui commence coupe cette tablette en deux rectangles et donne un rectangle à l’autre joueur. Celui-ci fait de même avec le morceaux qui lui a été donné. Le jeu se termine lorsqu’un joueur donne un seul et unique carré de chocolat à son adversaire pour gagner. Question : Que doit-on faire lorsque l’on commence pour forcément gagner ?
Mots clés : jeu, stratégie, partage, carré, rectangle
Article : Placement optimal d antennes de téléphonie mobile - Lycée Ernest Bichat (Lunéville)
Article
Une compagnie de téléphonie mobile veut positionner ses antennes dans une ville. Elle a beaucoup de chance car elle peut les mettre où elle veut. On sait que chaque antenne a un rayon d’action (ou couverture) donné R. La compagnie souhaite qu’il n’y ait aucune zone non couverte. Comme chaque antenne coûte cher, le problème est de recouvrir tout le territoire de la ville avec le minimum d’antennes.
Mots clés : antenne, pavage, plan, couverture, recouvrement, disque, optimisation, algorithme, programme
Article : Pile et face en solitaire - Lycée Pape Clément (Pessac)
Article
On considère une rangée de k pièces, qui peuvent être côté pile ou côté face. Voici par exemple une rangée de cinq pièces : PFFFP. À chaque coup, on doit retirer une pièce F et retourner les pièces immédiatement voisines (s’il y en a). On cherche naturellement à retirer toutes les pièces de la rangée. La question est alors la suivante : peut-on caractériser les rangées gagnantes (c’est-à- dire celles que l’on peut complètement vider) ? Que devient le problème si à chaque coup on reforme une rangée unique en resserrant les pièces ?
Mots clés : pile ou face, solitaire, retournement, mot, parité, langage
Article : Pavage d un plan - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Article
Notre sujet est de paver un plan. Nous avons débuté nos recherches en cherchant comment paver un plan avec une seule figure régulière puis avec deux. Nous avons ensuite pavé le plan à l’ aide de triangles d’ or (triangle isocèle dont le rapport entre ses côtés est le nombre d’or et dont les angles à la base mesurent le double du troisième angle). Nous avons ensuite crée un logo «math en jeans» avec lequel nous pouvons paver le plan.
Mots clés : pavage, plan, polygone régulier, triangle d'or, nombre d'or
Article : Marche aléatoire sur un graphe quelconque - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Article
Prenons un graphe quelconque. Au départ, un curseur se trouve sur un des sommets du graphe. Ensuite à chaque tour au hasard, il se déplace vers un des autres points du graphe auquel il est relié. Il ne peut pas rester sur place, sauf dans le cas où le point en relié à lui-même (déplacement avec saut possible). On cherche à observer la position du curseur lorsque le nombre n de tours tend vers l’infini.
Mots clés : graphe, marche aléatoire, matrice, probabilité, triangle de Pascal
Article : N!, une histoire de 0 - Collège Charles Péguy Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
Soit N un entier strictement positif. On appelle factorielle N, et on note N!, le produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à N. Par exemple : 1!=1 2!=2×1=2 3!=3×2×1=6 Peut-on déterminer par combien de 0 se termine N! ?
Mots clés : factorielle, zéro, multiple, division euclidienne, facteur
Article : Les vergers - Collège Jules Vallès (Fontaine)
Article
Comment comparer les aires de vergers polygonaux dont les arbres sont situés sur un réseau carré ?
Mots clés : verger, aire, réseau carré, polygone, formule de Pick
Article : Les tours de Hanoi - Collège Guillaume de Lamarche (Lamarche)
Article
Comment réussir à déplacer les disques des «tours de Hanoï» en respectant les règles du jeu. Nous disposons d’un plateau de 3 piliers. Nous les nommons 1, 2, 3 (en partant de la gauche). Nous devons déplacer une tour formée de plusieurs anneaux [de tailles différentes, empilés dans l’ordre, du plus grand en bas au plus petit en haut] du pilier 1 au début au pilier 3 à la fin. On ne peut déplacer qu’un anneau à la fois [du pilier où il est vers une autre de son choix] et à condition que son diamètre soit inférieur à celui de l’anneau sur lequel on veut le poser.
Mots clés : tour de Hanoï, puissance de 2, récurrence, algorithme
Article : Les taquins - Lycée Prins Henrik (Copenhague)
Article
Les Taquins : Combien de permutations possibles existe-il?
Mots clés : taquin, permutation, permutation circulaire, dénombrement, factorielle
Article : Les sudokus - Collège Le Chamandier (Gières) Collège Fantin Latour (Grenoble)
Article
Le sudoku est un jeu. Le 9×9 est le sudoku dit « clas- sique ». On part d’une grille de 9 zones appelées régions, divisées en 9 cases. Le principe de ce jeu est de remplir la grille avec les chiffres de 1 à 9, chaque région, colonne et ligne contenant une seule fois chaque chiffre. Notre sujet était de trouver le nombre exact ou approximatif de grilles de sudokus déjà remplies.
Mots clés : grille, sudoku, dénombrement, permutation, factorielle
Article : Les rayons X - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
Un solide, constitué de plusieurs cubes, est placé dans une boîte de taille 3×3×3. On réalise une ou plusieurs photos de différents côtés. Une photo est constituée d’une grille de 3×3 où chaque valeur de la grille détermine la distance à l’objet. Problème : est-il possible de reconstituer le solide à partir d'une ou plusieurs photos ?
Mots clés : cube, photo, reconnaissance, vue, 3D, distance
Article : Les pavages de terrasses - Collège Fantin Latour (Grenoble)
Article
On cherche à paver une terrasse rectangulaire avec des pavés de 2×1 cases et des arbres de 1×1 case. La position des arbres est fixée au départ et on cherche à compléter par des pavés de 2×1 cases. Quelles sont les configurations pour lesquelles le pavage et possible ? Celles pour lesquelles il est impossible?
Mots clés : pavage, domino, rectangle, parité, damier, condition nécessaire et suffisante
Article : Les ombres chinoises - Lycée Albert Einstein (Bagnols Sur Cèze) Collège Bernard de Ventadour (Bagnols Sur Cèze)
Article
Les ombres formées par un objet suivant trois directions orthogonales sont des disques. Quelle peut être la forme de cet objet ? Quel objet utilise le moins de matière ?
Mots clés : ombre, cercle, sphère, cône, surface minimale
Article : Les nombres permutables et les nombres tournant - Lycée du Parc des Loges (Evry)
Article
Le nombre 142857 a une propriété exceptionnelle : Quand on forme ses 6 permutations circulaires (à savoir 142857, 428571, 285714, 857142, 571428 et 714285), ces 6 nombres obtenus sont multiples de 142857. Si on appelle : « 6-permutables » ou « permutable à 6 chiffres » un tel nombre ; on en cherchera d’autres ; « 5-permutables » ou « 7-... .permutables», etc.
Mots clés : nombre, permutable, diviseur, permutation circulaire
Article : Les nombres infinis a droite - Collège Camille Claudel (Paris)
Article
Prenons le nombre 14. Multiplions-le par 2 et décalons le résultat d’une ligne et de 2 rangs vers la droite. Nous continuons le processus. Si nous additionnons, nous obtenons une suite de chiffres qui est surprenante : elle est périodique. Nous pouvons, de plus, reconnaître le début du développement décimal de 1/7. Une question se pose alors : Obtient-on toujours une suite périodique ?
Mots clés : fraction, décalage, décimale, écriture décimale, périodique, rationnel, série géométrique, somme infinie
Article : Les mouvements de foule - Lycée d Altitude (Briancon) Lycée Jean Hinglo (Le Port)
Article
Nous cherchons à modéliser et déterminer le temps moyen d’évacuation de 35 personnes de la salle de cours.
Mots clés : aléatoire, union, événement, loi de probabilité, produit
Article : La résistance du cube - Lycée Marcelin Berthelot (Saint Maur) Lycée Christophe Colomb (Sucy-en-Brie)
Article
Perdus dans des circuits de fils et de résistances, nous avons décidé d’enlever notre blouse de physicien et d’enfiler celle de mathématicien. Nous sommes ainsi passés du monde fini de la physique au monde infini des mathématiques. Les mains déliées des contraintes du monde concret, nous avons pu étudier des circuits en trois dimensions, puis des montages aux longueurs infinies et enfin, cette plongée dans le monde des maths nous a permis de simplifier des circuits bien compliqués...Nous nous sommes ainsi intéressés à plusieurs problèmes sur le thème de la résistance.
Mots clés : résistance, circuit électrique, cube, série, parallèle, loi d’Ohm, loi de Kirchhoff, triangle, étoile, graphe
Article : Les illusions d optique - Collège Lou Garlaban (Aubagne)
Article
Nous avons travaillé sur les illusions d’optique : nous avons cherché à déterminer les paramètres dont elles dépendent afin de les comprendre, voire de les créer.
Mots clés : optique, illusion, paramètre
Article : Les échafaudages - Lycée d Altitude (Briancon)
Article
On s’intéresse à un échafaudage (ou un grillage) de taille m x n dans le plan. Il est constitué de losanges de barres articulées pouvant se déformer. On peut rigidifier un carré en lui ajoutant une barre diagonale. On se pose deux questions ; combien de barres diagonales faut-il au minimum pour rigidifier l’échafaudage ? un échafaudage donné est-il rigide ? Pour nous aider dans nos recherches, notre établisse- ment nous a fabriqué des structures « échafaudages ».
Mots clés : rigidité, échafaudage, treillis, plan, barre articulée
Article : Les carrés magiques - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
Article
Comment construire un carré magique ? Un carré magique est [une grille carrée dont chacune des cases contient un nombre et qui est telle que] toutes les lignes horizontales, verticales et diagonales ont la même somme.
Mots clés : carré magique, somme, nombres consécutifs
Article : Les beaux pavés - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
Article
Dans la tribu des Mathémacos, on considère qu’un beau pavé doit avoir la diagonale de sa base égale à sa hauteur. Une condition supplémentaire , les dimensions du pavé doivent être des nombres entiers. [Ici, un «pavé» est un parallélépipède rectangle. Le problème est de trouver les proportions possibles des «beaux pavés»]
Mots clés : triplet pythagoricien, triangle rectangle, entier, carré, théorème de Pythagore
Article : Le turlupin - Cité Scolaire Internationale Europole (Grenoble)
Article
On dispose d’une grille 3 × 3, dans laquelle on choisit de barrer une case. On doit ensuite écrire les lettres du mot TURLUPIN dans les huit cases restantes, de façon à pouvoir lire ce mot en passant d’une case à une case voisine (verticalement ou horizontalement, mais pas en diagonale). [On s’interdit de passer deux fois sur une même lettre]. On peut imposer la position d’une ou de plusieurs let- tres au départ.
Peut-on fabriquer une grille à solution unique?
Peut-on généraliser à d’autres tailles de grille ?
Mots clés : chemin, circuit hamiltonien, graphe, condition nécessaire, parité, quadrillage, damier
Article : Le tour de cartes - Lycée Elie Faure (Lormont)
Article
Vous connaissez peut-être ce tour... Prenez un paquet de 21 cartes, et faites choisir une carte à quelqu’un. [La carte est remise dans le paquet]. Disposez le paquet en trois paquets de sept cartes, et demandez-lui dans quel paquet se trouve sa carte. Ramassez en mettant ce paquet au milieu, et recommencez l’opération encore deux fois Vous pouvez ensuite retrouver sa carte, c’est la 11ème du paquet. Est-ce qu’on peut établir une stratégie similaire avec 32 cartes ? 52 cartes ? Est-ce qu’on peut imposer aussi la position à la fin ?
Mots clés : tour de cartes, jeu, permutation
Article : Le jeu d échecs - Collège Lou Garlaban (Aubagne) Collège Jean Jaures (La Ciotat)
Article
Trouver des méthodes pour mater le roi adverse au jeu d’échecs. Le jeu des échecs a été choisi pour notre recherche. Quelles stratégies avoir à ce jeu ? Et si on simplifiait ce jeu, quelles informations aurait-on alors sur le jeu non simplifié ? Nous avons d’abord simplifié le jeu en nombre de pièces et en dimension de damier. Puis nous avons cherché des stratégies à partir de la construction d’arbres des possibles. Ces arbres ont été construits à l’endroit puis à l’envers (tentatives), ce qui nous a aidé à trouver des stratégies gagnantes que nous avons présenté au congrès (« trains », ateliers et exposé) et que l’on présente dans cet article.
Mots clés : jeu, échecs, arbre, stratégie
Article : Le billard - Lycée Prins Henrik (Copenhague)
Article
On s’intéresse aux rebords dans un billard rectangulaire. Le problème est de déterminer l’angle de tir qui permet à une boule d’atteindre un trou prédéterminé, situé en coin.
Mots clés : billard, symétrie, tangente, angle, réflexion