Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Plus court chemin sur une sphère - Association Science Ouverte (Bobigny)
On montre que le plus court chemin sur une sphère qui relie deux points A et B est le plus petit des deux arcs de cercles dessinés sur la sphère, joignant A et B.
Mots clés : géométrie sphérique, inégalité triangulaireL'élastique - Groupe scolaire Jean de la Fontaine (Fès)
Un élastique est fixé par un bout à un mur et par l’autre l’autre à un disque tournant enduit de colle. Quand le disque tourne, la partie de l’élastique qui entre en contact avec le disque est collée et ne se déforme plus tandis que la partie de l’élastique entre le mur et la zone de contact avec le disque s’étire. Il s’agit de déterminer le rayon du disque sachant que la longueur initiale de l’élastique est de 1m et que quand le disque a fait un tour complet sur lui-même, 90% de sa longueur initiale a été collée.
En remplaçant le disque par un polygone régulier à n côtés, on calcule la proportion de longueur initiale collée en fonction de la longueur d’un côté, en s ‘aidant d’un programme Scratch. On en déduit par tâtonnements la longueur du côté telle que 90 % de la longueur de l’élastique soit collée.
Mots clés : cercle, polygone régulier, discrétisation, ScratchEn remplaçant le disque par un polygone régulier à n côtés, on calcule la proportion de longueur initiale collée en fonction de la longueur d’un côté, en s ‘aidant d’un programme Scratch. On en déduit par tâtonnements la longueur du côté telle que 90 % de la longueur de l’élastique soit collée.
Pont de kapla - Lycée Baudelaire (Annecy) Lycée de l'Albanais (Rumilly)
Dans l'article, on considère un escalier de Kapla, composé d’un kapla par étage, tous exactement identiques et placés dans un espace idéalisé. On détermine une distance maximale qu’il est possible d’atteindre en optimisant au maximum notre structure.
Mots clés : Kapla, suite numériqueQuoridor - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Le Quoridor est un jeu de stratégie combinatoire abstrait de 2 à 4 joueurs, dont le but est de traverser un plateau tout en empêchant l’adversaire de le faire. Les auteurs proposent et étudient différentes stratégies gagnantes ou non sur différents plateaux simplifiés, et proposent une implémentation en Python du jeu qui leur permettra, par la suite, de tester algorithmiquement les stratégies proposées.
Mots clés : théorie des jeux, stratégie, algorithmique, modélisation, mathématiques discrètesQuantik - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Cet article présente les recherches d’une stratégie gagnante au jeu de société quantik. Une première méthode qui donne le joueur 2 vainqueur semble prometteuse mais grâce à un programme, on exhibe une partie qui la met en défaut. Cependant, en changeant de méthode au moment critique, le joueur 2 parvient à gagner cette partie. Il est donc conjecturer que le joueur 2 peut toujours gagner sans d’autres éléments de preuve.
Mots clés : jeu, stratégie gagnante, raisonnement logique, algorithmeAnalysis on the Manhattan geometry - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Dans une ville les rues sont perpendiculaires les unes aux autres, formant une grille. L’article étudie plusieurs problèmes associés à une telle grille.
- Dans le premier chapitre, lorsque tous les segments de la grille sont de longueur uniforme, on compte les chemins d’une intersection à une autre, en ajoutant éventuellement des conditions telles que passer ou non par un point. Lorsque les segments ont des longueurs différentes, le problème devient de trouver le chemin le plus court et on utilise pour cela l’algorithme de Dijkstra.
- Dans le deuxième chapitre, on modélise la grille comme un espace métrique en utilisant la “distance de Manhattan”, en considérant seulement les intersections. On étudie dans ce cadre les droites et les coniques, puis diverses applications à des problèmes inspirés par la planification urbaine.
- Dans le dernier chapitre, on aborde le cas où les rues sont aussi prises en compte.
Mots clés : géométrie, géométrie non euclidienne, dénombrement, chemin le plus court, algorithme de Dikjstra, médiatrice, conique, diagramme de Voronoï, recouvrement- Dans le premier chapitre, lorsque tous les segments de la grille sont de longueur uniforme, on compte les chemins d’une intersection à une autre, en ajoutant éventuellement des conditions telles que passer ou non par un point. Lorsque les segments ont des longueurs différentes, le problème devient de trouver le chemin le plus court et on utilise pour cela l’algorithme de Dijkstra.
- Dans le deuxième chapitre, on modélise la grille comme un espace métrique en utilisant la “distance de Manhattan”, en considérant seulement les intersections. On étudie dans ce cadre les droites et les coniques, puis diverses applications à des problèmes inspirés par la planification urbaine.
- Dans le dernier chapitre, on aborde le cas où les rues sont aussi prises en compte.
C'est quoi l'arnaque ? - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
Un magicien propose un pari avec des cartes rouges et noires. La règle du jeu est simple : le spectateur choisit une combinaison de couleurs pour trois cartes, puis le magicien choisit à son tour une combinaison. Ensuite, on tire des cartes, successivement. Dès qu’apparaît une suite de trois cartes correspondant à la combinaison choisie par l’un des deux joueurs, celui-ci gagne la partie. Par exemple, le spectateur choisit la combinaison rouge-noir-rouge et le magicien choisit la combinaison rouge-rouge-noir. Lon tire les cartes : rouge, noir, noir, rouge, rouge, noir. C’est donc le magicien qui remporte la partie.
Dans cet article, on établit une stratégie pour le magicien, lui assurant au moins 2 chances sur 3 de gagner dans tous les cas.
Mots clés : probabilité, arbre de possibilités, série géométrique, PythonDans cet article, on établit une stratégie pour le magicien, lui assurant au moins 2 chances sur 3 de gagner dans tous les cas.
Aire finie, périmètre infini - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes) (article en anglais : Infinite perimeter)
The authors study in that article the Kloch Flake; they prove, using the construction of the flake, that it is of infinite perimeter and finite area.
Mots clés : géométrie, fractal·e, suite géométriqueProbabilité d'être ruiné lors d'un Pile - Face - Lycée Jacques Amyot (Melun)
On réalise un jeu de hasard en lançant une pièce équilibrée. On gagne 2€ si on obtient PILE et on perd 1€ si on obtient FACE. L’article établit la probabilité d’être ruiné, en fonction de n, le nombre d’euros dont on dispose initialement. Cette probabilité dépend également du nombre de parties (lancers) effectuées. Après quelques expérimentations, manuelles puis informatiques, une relation de récurrence est établie sur la probabilité de perdre, ayant n euros en main, en fonction de celle de perdre avec n+2 euros et celle de perdre avec n-1 euros. La suite qui en découle est étudiée et son terme générique est calculé via l’étude de l’équation caractéristique et ses racines. Le résultat fait apparaître le nombre d’or φ : la probabilité de perdre, en débutant avec n euros, est (1/ φ)n.
Mots clés : calcul de probabilité, suite géométrique, limite, Python, polynôme, chaîne de MarkovEvolution of parasites - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This article studies how the populations P of a certain type of parasite and H of their hosts evolve in continuous or discrete time. Parasites deposit eggs on their hosts and, when the eggs hatch, the host dies. At each stage (unit of time), the number of eggs deposited depends on the probability that a parasite and a host will meet. It is assumed that this probability is proportional to the product H×P of the populations. So, in the case of discrete time, the dynamics is given by a system of recurrence equations, allowing us to calculate approximate solutions. In continuous time, this corresponds to a non-linear system of differential equations, and it is shown that the trajectory is determined explicitly by an equation linking P and H, depending on the initial data.
In our article, we present two approaches to solving our problem: an experimental approach and an analytical approach.
Mots clés : système dynamique, dynamique des populations, évolution, état stationnaire, trajectoireIn our article, we present two approaches to solving our problem: an experimental approach and an analytical approach.
Inflated sets - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Une figure convexe du plan étant donnée, une figure « gonflée » (« inflated set » dans le texte) vérifie la propriété suivante : lorsqu’on lui adjoint un point extérieur, puis que l’on considère l’enveloppe convexe du tout, on obtient une sur-figure dont le diamètre est strictement supérieur à celui de la figure initiale. Le travail présente la notion de figure gonflée et étudie les « gonflages » possibles (c’est-à-dire les figures gonflées à partir de celle-ci) pour quelques formes élémentaires : le triangle, le carré, le rectangle. Quelques considérations générales sont également apportées, dont le résultat final : si A et B sont deux gonflages différents d’une même figure de départ et que A est contenu dans B, alors A=B.
Mots clés : convexe, diamètre, cercle, distance, ReuleauxJeu de société 2 - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Le problème traité concerne la recherche du nombre minimum de sommets d’une grille carrée à nxn points pour lequel tout sommet de la grille est sur au moins une droite passant par deux des sommets choisis, ainsi que la disposition des sommets ainsi choisis.
L’article détermine les valeurs exactes de ce nombre minimum pour des grilles de 2, 3 et 4 sommets, ainsi qu’un encadrement dans le cas général. Le minorant est de l’ordre de grandeur de la racine carrée de n et le majorant d’un peu moins de 2n.
L’article suggère finalement un moyen d’améliorer la borne supérieure en environ n, sans toutefois le prouver.
Mots clés : combinatoire, optimisation discrète, encadrementL’article détermine les valeurs exactes de ce nombre minimum pour des grilles de 2, 3 et 4 sommets, ainsi qu’un encadrement dans le cas général. Le minorant est de l’ordre de grandeur de la racine carrée de n et le majorant d’un peu moins de 2n.
L’article suggère finalement un moyen d’améliorer la borne supérieure en environ n, sans toutefois le prouver.
Évolution d'une population animale - Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès) - 2022-2023
Dans cet article, on étudie l’évolution d’une population animale où à chaque pas de temps chaque couple d’adultes a un couple d’enfants et chaque couple d’enfants devient un couple d’adultes. On commence par le cas le plus simple où il n’y a que ces deux classes d’âges. Ensuite on sépare les adultes en deux classes d’âges et on introduit un coefficient de mortalité pour la dernière. On montre que ces systèmes sont régis par des systèmes de récurrence linéaires, ou des récurrences linéaires d’ordre 2 ou 3. Cela permet de calculer le nombre de couples à tout instant selon les données initiales. Enfin, une généralisation est donnée pour un nombre quelconque de classes d’âges avec une interprétation matricielle.
Mots clés : dynamique des populations, récurrence, suite récurrente, système linéaire, matriceGenerating an octagon - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
The problem studied in this article is the computation of the area of an octagon inside a square or parallelogram, constructed in its basic version as follows: the sides of the octagon are the 8 lines which join the corners of the quadrilateral with the middle of the (two) opposite sides. In this basic version, the area is shown to be one sixth of the area of the quadrilateral. A more advanced version is also worked out where the corners are joined to the near-quarter or some other ratio 1/n of the opposite sides. In this case they show that the area of the octagonal is (n-1)^2/n(n+1) the area of the quadrilateral. The regularity of the octagon is also studied. The proofs use only very classical theorems of geometry, such as the theorems of Thalès, Pythagoras, the sine rule and the theorem of similarity.
Mots clés : géométrie, construction géométriqueDes plis qui se déplient - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
On plie une bande de papier toujours dans le même sens, n fois. On déplie ensuite le pliage obtenu et dispose les plis de façon à former des angles droits dans le sens où ils ont été pliés. Les figures obtenues ont une surprenante structure fractale, que vous pourrez découvrir grâce au simulateur mis à disposition dans cet article !
Mots clés : fractal·e, suite, matrice, PythonEntiers remarquables - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
Un nombre entier est dit remarquable si il existe un multiple de ce nombre dont l’écriture en base 10 est 99...900...0. Les auteurs démontrent qu’vec cette définition tous les entiers naturels sont remarquables. Ils décomposent le problème en plusieurs ca particuliers avant d’attaquer le cas général.
Mots clés : arithmétique, divisibilité, théorème d'Euler, théorème des restes chinois, théorème de FermatUn bon ascenseur - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Cet article porte sur différents algorithmes (stratégies) que peut suivre un ascenseur pour prendre en charge les personnes qui le sollicitent. A l’aide d’un programme en Python, une comparaison statistique des temps d‘attente est effectuée.
Mots clés : algorithme, optimisation, analyse de stratégie, programmation, temps d'attenteLe tour de l'île à la nage - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Afin de trouver la trajectoire optimale pour faire le tour de l’ile, nous avons utilisé deux méthodes: l'une avec le produit scalaire et l'autre reposant sur les équations de droite et le partitionnement du plan. Nous avons réalisé un programme en Python afin d'automatiser la méthode à toute ile polygonale. Enfin, nous avons commencé à étudier d'autres cas de figure où nous serions situés par exemple à 1 mètre de l'ile ce qui serait plus cohérent avec le fait de nager et non de marcher sur l'ile.
Mots clés : équation cartésienne, optimisation, programmation, distance la plus courte, enveloppe convexeAnalyse et optimisation d'une mission spatiale - Lycée Stendhal (Milan)
L'objet de ce travail est de comparer du point de vue énergétique différentes manœuvres pour changer d'orbite un satellite. L’orbite de départ est un cercle de rayon centré sur le soleil et celle d’arrivée une ellipse dont le soleil est l’un des foyers. On étudie successivement le transfert direct, les transferts de Hohmann avec une demi-orbite elliptique intermédiaire et des transferts utilisant deux demi-ellipses intermédiaires, en calculant l’impulsion totale à donner au satellite dans chacun des cas.
Mots clés : Kepler, gravitation, Newton, trajectoire, ellipseDémonstrations et Dessins - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Les dessins peuvent constituer un outil intéressant sur lequel peut reposer notre
intuition mathématique. Les auteurs présentent des exemples de résultats classiques
(Théorèmes de Pythagore, Thalès, formules de sommation d’entiers,...) pour lesquels des
représentations sous forme de dessins peuvent aider à expliquer et même à trouver des idées
de preuves !
Toutefois les dessins, à eux seuls, ne constituent pas une preuve et les auteurs n’oublient pas
d’ailleurs de nous illustrer le fait que dans certains cas, les dessins peuvent aussi nous
induire en erreur !
Mots clés : géométrie, théorème de Pythagore, théorème de Thalèsintuition mathématique. Les auteurs présentent des exemples de résultats classiques
(Théorèmes de Pythagore, Thalès, formules de sommation d’entiers,...) pour lesquels des
représentations sous forme de dessins peuvent aider à expliquer et même à trouver des idées
de preuves !
Toutefois les dessins, à eux seuls, ne constituent pas une preuve et les auteurs n’oublient pas
d’ailleurs de nous illustrer le fait que dans certains cas, les dessins peuvent aussi nous
induire en erreur !
Une fourmi sur un tétraèdre régulier - Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou)
L’article propose de trouver le nombre de déplacements de longueur donnée d’une fourmi sur un tétraèdre régulier.
Les résultats sont généraux en commençant par une présentation rapide pour le cas d’un tétraèdre régulier,
puis une généralisation sur quelques formes géométriques en utilisant les graphes non orientés et leur matrice d’adjacence : le triangle équilatéral, le tétraèdre régulier et le cube. La démonstration permet de faire le lien entre les coefficients de la matrice et le nombre de trajets reliant les sommets et de longueur .
Mots clés : dénombrement, graphe, matrice d'adjacence, récurrenceLes résultats sont généraux en commençant par une présentation rapide pour le cas d’un tétraèdre régulier,
puis une généralisation sur quelques formes géométriques en utilisant les graphes non orientés et leur matrice d’adjacence : le triangle équilatéral, le tétraèdre régulier et le cube. La démonstration permet de faire le lien entre les coefficients de la matrice et le nombre de trajets reliant les sommets et de longueur .
Le mot le plus court (Braquage) - Lycée Paul Guérin (Niort)
Cet article s’attaque à la notion mathématique de super-permutation. Il s’agit de déterminer le « mot » le plus court contenant l’ensemble de toutes les permutations d’un certain nombre de lettres. L’article se résume principalement en un algorithme aléatoire permettant de construire des mots (pas nécessairement minimaux) contenant toutes ces permutations. Pour des alphabets de taille <6, il parvient à construire des super-permutations.
Mots clés : permutation, combinatoire des mots, algorithme, minimisation, factorielleAvec Ordre et Magie... - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Le codage binaire des cartes, des arbres de possibilités de rangement des cartes, un algorithme de rangement de ces cartes, des graphes nous ont permis de résoudre le problème.
Nous avons trouvé des rangements d’un jeu de 32 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 4 cartes suivantes.
Nous avons aussi vu qu’il était possible de supprimer certaines cartes bien précises et faire le tour de magie avec un jeu de 31, 30, 29, 28 cartes et même moins de cartes. Mais on ne peut supprimer une carte au hasard.
Nous savons aussi ranger un jeu de 64 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 5 cartes suivantes.
Mots clés : arbre de possibilités, graphe, algorithme, codageNous avons trouvé des rangements d’un jeu de 32 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 4 cartes suivantes.
Nous avons aussi vu qu’il était possible de supprimer certaines cartes bien précises et faire le tour de magie avec un jeu de 31, 30, 29, 28 cartes et même moins de cartes. Mais on ne peut supprimer une carte au hasard.
Nous savons aussi ranger un jeu de 64 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 5 cartes suivantes.
Jeu de Marienbad - Lycée de l'Harteloire (Brest)
Cet article étudie la réussite au jeu de Marienbad. Une statégie gagnante est obtenue à l’aide d’une décomposition en puissance de 2.
Mots clés : jeu de Nim, base 2, base de numérationTours de trinques dans un bar - Lycée Jean Puy (Roanne)
Un groupe de n personnes se réunit dans un bar autour d’une table ronde. Après avoir commandé leurs boissons elles ont pour objectif de trinquer une fois avec chacun le plus vite possible. Mais deux règles leurs sont imposées :
R1 : Elles ont interdiction que leurs bras se croisent quand elles trinquent.
R2 : Elles ne pourront trinquer qu’avec une seule personne à la fois.
Par conséquent elles devront procéder à plusieurs « tours de trinques », pour qu’elles puissent toutes trinquer avec tout le monde.
Le problème est de déterminer le nombre minimum de tours de trinques nécessaire.
Mots clés : trinquer, combinaison, algorithme, PythonR1 : Elles ont interdiction que leurs bras se croisent quand elles trinquent.
R2 : Elles ne pourront trinquer qu’avec une seule personne à la fois.
Par conséquent elles devront procéder à plusieurs « tours de trinques », pour qu’elles puissent toutes trinquer avec tout le monde.
Le problème est de déterminer le nombre minimum de tours de trinques nécessaire.
Fractions égyptiennes - Lycée Raynouard (Brignoles)
Le texte étudie comment écrire une fraction positive inférieure à un comme somme de fractions unitaires (numérateurs égaux à 1) dont tous les dénominateurs sont différents. Un programme Python de décomposition est proposé.
Mots clés : fraction égyptienne, algorithme, PythonVoyageur de commerce - Lycée Raynouard (Brignoles)
Cet article s’intéresse au problème du voyageur de commerce. Comment minimiser la longueur du trajet pour visiter toutes les villes d’une région donnée ?
On commence par résoudre le problème avec un très petit nombre de villes, puis on explore plusieurs méthodes, méthode naïve, force brute, puis une méthode pour trouver une solution approchée avec un temps de calcul limité, notamment à l’aide de programmes écrits en langage Python.
Mots clés : optimisation discrète, graphe, algorithme, dénombrementOn commence par résoudre le problème avec un très petit nombre de villes, puis on explore plusieurs méthodes, méthode naïve, force brute, puis une méthode pour trouver une solution approchée avec un temps de calcul limité, notamment à l’aide de programmes écrits en langage Python.
Permutation de cartes - Lycée Raynouard (Brignoles)
Combien de cartes restent à leur place initiale en moyenne lorsque l'on mélange aléatoirement un jeu de cartes ? Cet article répond à la question pour les petites valeurs du nombre de cartes et établit des formules permettant de le calculer par récurrence en général.
Mots clés : permutation, dérangement, dénombrement, espéranceCorrecteur d'orthographe - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Ce texte étudie le principe d’un correcteur orthographique. Après quelques idées intuitives, on étudie trois méthodes : méthode des combinaisons, distance de Levenshtein et méthode du clavier. On donne des exemples et on détaille chacune des deux premières méthodes.
Mots clés : distance, programmeLa place de théâtre - Lycée Paul Guérin (Niort)
Dans cet article, on calcule le nombre moyen de fois où vous devez vous relever dans une salle de spectacle où vous vous asseyez au hasard et vous devez changer de place chaque fois qu’arrive le spectateur ayant réservé la place que vous avez prise. On effectue quelques simulations puis on calcule cette espérance en fonction du nombre de places que contient la salle.
Mots clés : probabilité, loi de probabilité, espérance, série harmoniqueLes poids cassés - Lycée du Pays d'Aunis et Collège Hélène de Fonsèque (Surgères)
Les élèves ont travaillé sur le problème suivant : "Nicolas, le marchand, possède un poids de 40 kg. Il le laisse malencontreusement tomber et celui-ci se brise en 4 morceaux.
Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos.
Question 1 : en utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg.
Quelle est la masse de chaque morceau ?
Question 2 : avec un poids de 2023 kg, de combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?"
Mots clés : numération, numération en base 3Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos.
Question 1 : en utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg.
Quelle est la masse de chaque morceau ?
Question 2 : avec un poids de 2023 kg, de combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?"
Couper le quadrillage - Collège Hélène de Fonsèque (Surgères)
On trace des droites sur un damier de 10x10 cases. Combien doit-on en dessiner au minimum pour que toutes les cases soient traversées au moins une fois ? Il est facile de trouver une solution à 10 droites, et bien plus ardu de faire mieux. C’est cependant possible et le groupe explique sa démarche de recherche et donne des éléments de preuve pour des damiers plus petits.
Mots clés : carré, géométrie, optimisation, droites sécantes, comptage, logique, condition nécessaireShortest cobweb length - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Spider Webster is fed up of investing resources and energy in building new cobwebs every day, and wants to be more pragmatic when building its cobweb. Webster wants to build a cobweb of minimum total length, which connects the n points where it is attached. The considered cases are the triangle, the rectangle, the parallelogram and the regular square-base pyramid.
Mots clés : optimiser, géométriePizza sharing - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Our task deals with being able to calculate how big a pizza is starting from a single edge of a slice and figuring out what tools are needed to do this.
We also need to figure out how to find the centre of a pizza and how to split it in half by using different tools.
Mots clés : cercle, arc, corde, rayon, centreWe also need to figure out how to find the centre of a pizza and how to split it in half by using different tools.
Counting configurations - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
A disc is divided into n sectors, each of which is to be painted with one of k possible colours, with the condition that two adjacent sectors have different colors. In a first part, two configurations which are obtained from each other by a rotation are considered as different, and the problem is solved firstly by a Python program for values of n, k up to n=12 and k=5. Then a general formula is obtained by means of a recurrence.
In a second part, the number of distinct configurations when we identify those that are obtained from each other by rotations is calculated for an example, but the general case remains open.
Mots clés : combinatoire, coloration, principe d'inclusion-exclusion, PythonIn a second part, the number of distinct configurations when we identify those that are obtained from each other by rotations is calculated for an example, but the general case remains open.
Homework planning - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
Passing an exam requires that among a sequence of n homeworks a student does not obtain k consecutive failures. This leads to counting sequences of n terms "P" (pass) or "F" (fail) without k consecutive "F". In this work a recurrence equation on n is established, k being fixed, and this equation is solved explicitly for k=2. Then, the authors study the probabilistic version where "P" is obtained with a certain probability p, independently for each homework.
Mots clés : combinatoire, combinatoire des mots, récurrence, probabilitéCube de points - Lycée Catherine et Raymond Janot (Sens) Lycée Saint-Etienne (Sens)
La première partie de ce travail présente un algorithme qui engendre une suite pseudo-aléatoire de points dans l’espace cartésien tridimensionnel. Les coordonnées de chaque point appartiennent à l’intervalle [-1,1]. Ensuite, l’algorithme est affiné en éliminant une partie de ces points de façon à faire apparaître les lettres X, Y et Z en négatif lorsqu’on regarde dans la direction de l’axe correspondant.
Mots clés : Python, géométrie dans l'espace, algorithme, aléatoireLes triangles harmonieux - Lycée Pierre-Gilles de Gennes (Paris)
Dans ce texte, on étudie des étoiles formées à partir de 3 triangles harmonieux (triangles partagés en 4 petits triangles contenant un nombre dont le centre est la moyenne des sommets). On a montré qu’on pouvait en construire autant qu’on voulait en expliquant comment le faire. Puis on a généralisé en imbriquant de telles étoiles et en définissant des opérations sur ces étoiles pour en construire d’autres.
Mots clés : base, équation, générateur, moyenneDerrière la magie ... Le CODE ! (1) - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Une magicienne montre un de ses tours aux élèves. Ces derniers en recherchent l’explication scientifique, basée sur les codes correcteurs d’erreurs en informatique, et cherchent si ces explications restent valables en modifiant certains des paramètres du tour. C’est l’occasion de parler d’addition en binaire, en base 3 etc.
Mots clés : code correcteur, base 2, numération en base 3, parité, magieUn partage sans fin ou sans faim? - Istituto di Istruzione Superiore Giordano Bruno (Mestre - Italie)
In Autumn, a population of squirrels stocks up on hazelnuts to pass the Winter. Each squirrel collects his personal stock of hazelnuts. To make sure every squirrel has the same amount of hazelnuts, they made up a partition system: when two squirrels meet, they compare their stocks. The squirrel that has less hazelnuts receives by the other the same number of nuts as he owns. This method goes on until they own the same amount of hazelnuts.
Are there any situations where this partition never ends? If this partition ends, how many steps does it take to get to end?
Mots clés : partage, pair, impair, puissance de 2Are there any situations where this partition never ends? If this partition ends, how many steps does it take to get to end?
Feu rouge - Lycée Carnot (Paris)
Un cycliste pressé roule à sa vitesse maximale. Depuis une certaine distance, il observe un feu changeant de couleur toutes les 20 secondes. L’objectif du cycliste est d’arriver au feu vert le plus rapidement possible, et avec la vitesse maximale. Pour cela il peut freiner puis accélérer, avec une accélération limitée.
On étudie les différents cas possibles selon les paramètres initiaux, vitesse, accélération, distance au feu, état du feu lorsque le cycliste le voit, et on essaie de donner la meilleure stratégie pour chaque cas : celui où la distance au feu est trop faible pour que le cycliste puisse s’arrêter ; celui où il n’a pas besoin de freiner ; celui où il peut freiner et reprendre sa vitesse maximale, celui où il doit de plus marquer un temps d’arrêt.
Mots clés : mouvement, vitesse, accélérationOn étudie les différents cas possibles selon les paramètres initiaux, vitesse, accélération, distance au feu, état du feu lorsque le cycliste le voit, et on essaie de donner la meilleure stratégie pour chaque cas : celui où la distance au feu est trop faible pour que le cycliste puisse s’arrêter ; celui où il n’a pas besoin de freiner ; celui où il peut freiner et reprendre sa vitesse maximale, celui où il doit de plus marquer un temps d’arrêt.
Say What You See - Lycée Ferdinand Buisson (Voiron)
Dans cet article une élève étudie la Suite de Conway (à partir du chiffre 1, on lit “un 1”, on écrit 11, puis de même “deux 1” donne 21, et on continue ainsi : 1211, 111221…). Les propriétés suivantes sont démontrées : on ne dépasse pas le chiffre 3, les longueurs sont toutes paires à partir du deuxième terme, et elles croissent.
Mots clés : suite de Conway, récurrenceDiviser pour mieux compter - Lycée Auguste Angellier (Dunkerque)
On montre que les fractions continues à coefficients constants correspondent à des solutions d’équations du second degré à coefficients entiers, et on établit les développements en fraction continue de √2 et de √5.
Mots clés : fraction, fraction continue, racine carréeLes dames berrichonnes - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Cet article étudie le jeu des dames berrichonnes dans lequel N joueurs remplissent à tour de rôle un damier 6*6 puis retirent leurs jetons à tour de rôle en marquant ainsi des points : un joueur qui retire un jeton marque n points, où n est le maximum du nombre de cases vides à partir de ce jeton dans une des quatre directions. Le joueur ayant le plus de points à la fin de la partie gagne. Les élèves s’intéressent ici particulièrement à la variante à deux joueurs et essaient de déterminer des heuristiques de gain pour le joueur 1.
Mots clés : jeu de stratégieMaudits rectangles - Lycée de la mer (Gujan Mestras)
Pour un tableau de taille fixée mxn, le problème est de le remplir avec des entiers dans chacune de ses cases et en mettant le moins d’entiers différents possible. Ceci doit se faire en faisant en sorte que lorsque le remplissage est fini, il n’existe aucun rectangle à l’intérieur du tableau dont les quatre cases aux sommets contiennent le même entier.
Mots clés : congruence, combinatoireForme des dunes - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis)
It is assumed that sand is poured on top of a horizontal elevated support to form a dune. At some point, no further quantity of sand changes the form of the dune, because all the additional sand slides on the side of the dune and falls outside of the support.
The work investigates the shape of the crest of the dune when this stable situation is reached. The equation of the crest is determined for various kinds of support bounded by segments and/or arcs of a circle.
Mots clés : forme, équation, disque, polygone, géométrie dans l'espaceThe work investigates the shape of the crest of the dune when this stable situation is reached. The equation of the crest is determined for various kinds of support bounded by segments and/or arcs of a circle.
L'éternelle fortune - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Un nombre fini de pièces d’or est réparti en paquet. A chaque étape, une pièce d’or est retirée de chaque tas pour former un nouveau tas. Cette opération est répétée avec la nouvelle répartition. La question est alors de savoir si le processus s'arrête et si oui au bout de combien d’opérations.
L'article présente le problème de différentes façons : avec des piles, des nombres pour finir par un « boulier » qui permet de mettre en évidence des opérations et justifie efficacement les résultats.
Mots clés : combinatoire, empilementL'article présente le problème de différentes façons : avec des piles, des nombres pour finir par un « boulier » qui permet de mettre en évidence des opérations et justifie efficacement les résultats.
Oubli à Macondo - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Dans le lointain village de Macondo, les habitants font face à la peste de l’oubli qui est subitement apparue dans la région. Ils semblent se remémorer tous les nombres qu’ils connaissaient auparavant, comme 0, 1, 100, −3, et même π et √2, mais, ils ont oublié comment calculer. Désormais, ils appellent ’somme’ de deux nombres le maximum entre ces deux nombres et ’produit’ de deux nombres l’ancienne addition entre ces deux nombres.
Comment fonctionne ce nouveau mode de calcul ?
Comment fonctionne ce nouveau mode de calcul ?
Arrosage du lycée - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis) Lycée Bellevue (Alès) Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie)
The work considers a school's building site with some water points in it. The problem to be solved is the determination of the water point that is the closest to an arbitrary point in the site. Three solutions are given. The first one directly computes the distances using the program GeoGebra. The second solution uses the properties of the perpendicular bisector of a segment to split the plane into various pieces, each closer to a water point. A C++ program is used. The third solution consists of an application of Lee’s algorithm. In the final section, a generalization of the second approach is proposed.
Mots clés : distance, modélisation, modèle mathématique, GeogebraUn modèle stochastique pour la gestion des stocks - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis) Lycée Bellevue (Alès)
In this work, a model for the management of fishing stocks is studied under the assumptions that, in a some site, the growth of a certain species is limited by the available resources and that a constant amount is fished every year. It is mainly a discrete time model: evolution from one year to the next given by a recurrence close to the logistic map, but the variant in continuous time, governed by a differential equation is also studied. Depending on the value of the parameters (maximum biomass of the site, initial biomass, basic reproduction rate, quantity fished), different evolutions appear: extinction, stabilization or, in the discrete case, chaotic evolution.
Mots clés : dynamique des populations, évolution, suite logistique, convergence, chaos, extinctionLes chiffres des puissances de 2 - Lycée Frédéric Mistral (Fresnes)
L'article étudie les chiffres dans l’écriture décimale des puissances de 2. Les auteurs démontrent que les k derniers chiffres, ainsi que le k-eme chiffre, sont périodiques à partir d'un certain rang, avec une période de 4x5^(k-1). Ils prouvent également que les 10 chiffres apparaissent le même nombre de fois dans le motif (sauf pour le chiffre des unités).
Mots clés : arithmétique, puissance de 2, congruence, écriture décimale, baseTwo problems on touching circles - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Sangaku are traditional Japanese wood paintings representing geometric problems. In this work, the authors consider series of circles tangent to each other and to a same given line, or to each other and to a same other circle. In the first case, they determine the radii of the generated circles and relate their structure to the Stern-Brocot tree, a binary tree whose vertices correspond to all positive rational numbers. In the second case, using the inversion transformation it is shown that the first Sangaku can be mapped to the second one, so that they are actually equivalent.
Mots clés : sangaku, cercle, tangent, arbre de Stern-Brocot, inversionExploring Lill's method: beyond graphical solution - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
The aim of this article is an in-depth study of Lill’s method, an ingenious graphical method of finding the roots of polynomials of any degree developed by Austrian engineer Eduard Lill and
published on the Nouvelles annales de mathematiques in 1867 where the proof is left to the reader. Initially we analyze the original method to better understand how it works and we produce some proofs about its fundamental properties and a couple of results: we recognize a nice connection with the well known Ruffini’s method for factoring polynomials and we use its geometrical properties to represent particular algebraic numbers and to give an expression for the number π. Finally we generalize the method and by exploiting its properties we show how it allows to study the problem of inscribing regular polygons inside other regular polygons.
Mots clés : racine, polynôme, polygone régulier, nombre complexepublished on the Nouvelles annales de mathematiques in 1867 where the proof is left to the reader. Initially we analyze the original method to better understand how it works and we produce some proofs about its fundamental properties and a couple of results: we recognize a nice connection with the well known Ruffini’s method for factoring polynomials and we use its geometrical properties to represent particular algebraic numbers and to give an expression for the number π. Finally we generalize the method and by exploiting its properties we show how it allows to study the problem of inscribing regular polygons inside other regular polygons.
SophistiCat Analysis - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
A cat has to cross a road without being hit by cars. Knowing the dimensions, speed and spacing of the cars, we determine the best trajectory for the cat, the minimum speed it must reach, and the crossing time.
Mots clés : trajectoire, vitesse, optimisationFaites des routes, pas la guerre ! - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
Il s’agit d’un jeu à deux, où on commence avec deux châteaux et un certain nombre de villes puis chacun à tour de rôle construit une route reliant deux lieux, villes ou château. Les routes doivent être liées, directement ou non, à l’un des deux châteaux. Le joueur qui crée une route permettant d’aller d’un château à un autre a perdu.
Il est montré que dans le cas d’un nombre pair de villes le second joueur gagne avec une une stratégie par symétrie, et que dans le cas d’un nombre impair de villes, l’un ou l’autre ou l’autre des joueurs selon que ce nombre est de la forme 4k+1 ou 4k+3 a un gain quasi automatique.
Mots clés : jeu, graphe, combinatoireIl est montré que dans le cas d’un nombre pair de villes le second joueur gagne avec une une stratégie par symétrie, et que dans le cas d’un nombre impair de villes, l’un ou l’autre ou l’autre des joueurs selon que ce nombre est de la forme 4k+1 ou 4k+3 a un gain quasi automatique.
Damier à noircir - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
Étant donné un damier carré de n cases de côté et quelques cases initialement noircies à l’intérieur, peut-on colorier entièrement ce damier sachant qu’on peut colorier une case si elle possède au minimum deux cases voisines (par un côté) noircies. Ce texte donne quelques exemples, puis en utilisant la notion de périmètre de la figure noircie, établit une condition nécessaire sur le nombre de cases noircies initialement pour colorier tout le carré. Des cas particuliers où on peut tout noircir sont exhibés. Enfin certains cas lorsque la figure du départ et les cases ne sont plus carrées seront examinés.
Mots clés : pavage, coloriageLa vie d'un plancton - Collège Alain Fournier (Orsay)
Les élèves du collège Alain Fournier à Orsay ont étudié la probabilité de survie d’un plancton qui se déplace verticalement. Chaque jour, il va d’une unité vers le haut avec probabilité de 1/2, ou d’une unité vers le bas avec une probabilité de 1/2. Le plancton meurt s’il atteint la surface ou le fond de la mer. Les élèves ont étudié, en fonction de la hauteur de départ, si le plancton pouvait survivre indéfiniment, puis — s’il ne survivait pas indéfiniment — quel serait le temps moyen au bout duquel il serait tué et enfin s’il serait tué en touchant plus tôt le fond ou la surface.
Mots clés : probabilité, marche aléatoire, convergenceBoom ! - Collège Alain Fournier (Orsay)
On cherche à stocker n paquets de dynamite dans une cave de longueur N. Attention, on ne peut pas placer deux paquets côte à côte sinon ils explosent ! Combien y a-t-il de façons de stocker la dynamite ?
Mots clés : combinatoireAlerte au voleur - Collège Alain Fournier (Orsay)
Ce travail étudie la manière de recouvrir un carré par des disques. La première partie traite du recouvrement par un nombre donné de disques identiques, il s’agit alors de trouver le rayon minimum. Pour un recouvrement avec un, deux ou quatre disques, le problème est entièrement résolu. Pour un recouvrement avec trois disques, les jeunes chercheurs proposent une méthode presqu’optimale qui découle d’une étude avec Geogebra.
Dans une seconde partie, le rayon des disques est imposé à 1 et les jeunes chercheurs se sont intéressés au nombre minimum de disques nécessaires pour recouvrir un carré de côté 10. Il ont aussi étudié, la surface perdue qui est la différence entre la surface totale des disques et celle du carré.
Mots clés : disque, surface, recouvrementDans une seconde partie, le rayon des disques est imposé à 1 et les jeunes chercheurs se sont intéressés au nombre minimum de disques nécessaires pour recouvrir un carré de côté 10. Il ont aussi étudié, la surface perdue qui est la différence entre la surface totale des disques et celle du carré.
Le facteur ne repassera pas - Collège Alain Fournier (Orsay)
Le travail du facteur n’est pas si simple que vous pensez ! Imaginons une rue composée de n maisons alignées. Partant de la première, quels sont tous les ordres possibles de parcours des maisons pour y déposer le courrier ? Parmi ces trajets, lesquels minimisent la distance parcourue par le facteur ?
Lesquels la maximisent ? Les réponses proposées utilisent les fonctions factorielle et exponentielle.
Mots clés : dénombrement, optimisationLesquels la maximisent ? Les réponses proposées utilisent les fonctions factorielle et exponentielle.
Alcanes et Isomères - Collège et lycée Gaston Fébus (Orthez)
Les molécules composées exclusivement d’atome de carbone, d’hydrogène et de liaisons simples portent le nom d’alcane. Pour un nombre d’atome de carbone et d’hydrogène fixé, il existe plusieurs arrangements possibles, certains étant identiques (miroir), et d’autre différents. Ces arrangements différents portent le nom d’isomère.
Ce travail s’attache dans un premier temps à décrire le problème à travers quelques exemples introductifs, pour ensuite en proposer une modélisation simple à l’aide de 4 pièces élémentaires de puzzle qu’il s’agit assembler. Des résultats théoriques sont proposés, appuyés par des expériences sur des cas simples. Enfin, on découvre que la complexité du problème est fonction du nombre de pièce de puzzle différente utilisées.
Mots clés : décomposition en facteurs premiers, combinatoireCe travail s’attache dans un premier temps à décrire le problème à travers quelques exemples introductifs, pour ensuite en proposer une modélisation simple à l’aide de 4 pièces élémentaires de puzzle qu’il s’agit assembler. Des résultats théoriques sont proposés, appuyés par des expériences sur des cas simples. Enfin, on découvre que la complexité du problème est fonction du nombre de pièce de puzzle différente utilisées.
Les nombres polygonaux - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Les nombres polygonaux sont ceux qui peuvent être représentés sous forme de polygones réguliers. Dans le travail, il est montré comment construire des nombres polygonaux (à la fois géométriquement et à l'aide d'un programme Python) et des formules générales sont déterminées pour calculer ces nombres. Ensuite, la formule de Diophante permettant de calculer les nombres polygonaux de manière récursive est démontrée. Enfin, un programme Python est présenté, qui décompose un nombre naturel arbitraire en une somme d'au plus trois nombres triangulaires (cas particulier du théorème de Fermat sur la décomposition des nombres naturels en une somme de nombres polygonaux).
Mots clés : nombre polygonal, PythonOvalie - Collège Alain Fournier (Orsay)
Au rugby, on peut marquer 3 points (via un drop ou une pénalité), 5 points (via un essai non transformé) ou 7 points (via un essai transformé) ? Est-ce que 13-10 est un score possible ? Est-ce que 4-3 est un score possible ? Quels scores peut-on réaliser ? Etant donné un score, combien y a-t-il de façons différentes de le réaliser ?
Mots clés : arithmétiqueL'allumeur de lampadaires - Lycée Jean Lurçat (Bruyères) Lycée Claude Gellée (Épinal)
Dans l’allée d’une ville 10 lampadaires sont disposés en ligne numérotés de 1 à 10, ils sont éteints ou allumés chaque soir par un allumeur de lampadaires ; il les allume de la droite vers la gauche selon la règle suivante : si un lampadaire est allumé il change l’état du suivant c’est-à-dire s’il était allumé il l’éteint et s’il était éteint, il l’allume. Le premier soir seul le lampadaire numéro 1 est allumé on cherche donc au bout de combien de soirs tous les lampadaires seront allumés et dans un second temps si on peut prévoir leur comportement pour un nombre n de lampadaires. Les résultats obtenus sont qu’au bout de 2^n jours, il y a 2^n lampadaires allumés, et que le jour suivant il n’y en a plus que 2.
Mots clés : triangle de Pascal, récurrence, coefficient binomialEquidecomposability of polygons
It is proved that, given two polygons of equal area, each of them can be decomposed into finitely many parts that can be rearranged to form the other by means of translations and rotations (Wallace–Bolyai–Gerwien theorem). The proof is divided into three steps: (1) any polygon can be cut into triangles; (2) any given triangle can be cut into smaller polygons that rearranged form a rectangle with equal area; (3) any rectangle can be cut into smaller polygons which rearranged form a square of equal area.
Mots clés : surface, polygoneLine Drawing Algorithm - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
This article presents a fast line segment plotting algorithm using only integer calculations, due to J. E. Bresenham, and also the analogous circle plotting algorithm.
Mots clés : pixel, algorithme, algorithme de BresenhamSuite diatomique - Lycée Paul Guérin (Niort)
L’article s’intéresse à la suite de Stern et démontre plusieurs propriétés, pour certaines assez surprenantes, qui n’ont été établies qu’assez récemment. En s’inspirant des pistes esquissées par Jean-Paul Delahaye dans un article de la revue « Pour la Science » (n°420, octobre 2012, disponible sur le site de l’auteur : https://www.cristal.univ-lille.fr/~jdelahay/pls/227.pdf), l’article démontre un ensemble de propriétés et théorèmes qui lient la suite de Stern à celle de Fibonacci, mais également au triangle de Pascal, la représentation hyperbinaire des entiers, ou encore le dénombrement des nombres rationnels.
Mots clés : suite numérique, suite de Fibonacci, triangle de Pascal, binaire, rationnel, récurrence, arbre, fraction continueGrilles gagnantes - Lycée Paul Guérin (Niort)
On remplit des grilles carrées avec des 1, des 0 et des -1. Le but est d'obtenir des sommes différentes sur chaque ligne et chaque colonne. Est-ce toujours possible ?
Les autrices démontrent que c'est toujours possible pour une grille de côté pair et impossible pour une grille de côté 3, 5 ou 7.
Mots clés : analyse combinatoire, arbre de possibilités, paritéLes autrices démontrent que c'est toujours possible pour une grille de côté pair et impossible pour une grille de côté 3, 5 ou 7.
Jeux de stratégie : tic-tac-toe, achi, pikaria - Lycée français Van Gogh (La Haye) École Européenne (La Haye)
Recherche d'une stratégie permettant de gagner ou de ne pas perdre au tic-tac-toe, achi et pikaria.
Mots clés : algorithmeArticle : Flyovers - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
One tries to connect a given number of towns by roads, with bridges (“flyovers”) to avoid crossings at intersections. What is the minimum number of bridges required for n towns? The problem is solved up to 6 towns, and for 7 and 8 towns examples are given that yield at least an upper bound of the minimum number of flyovers.
Mots clés : graphe, graphe complet, graphe planaireArticle : Piece of Cake - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Cet article (écrit en anglais) traite du problème de couper un gâteau, ou une forme plane, en deux morceaux d'aire égale, en un coup de couteau. Il propose une construction à la règle et au compas dans le cas d'un triangle, d'un quadrilatère convexe, puis, plus généralement d'un polygone convexe à n côtés. Il s'intéresse ensuite au cas où le gâteau a un trou : il propose une construction dans les cas où on peut en un coup de couteau couper le trou en 2 part égales et le gâteau sans trou en 2 part égales. Enfin, il propose une solution numérique pour couper des polygones convexes à n côtés en m parts égales.
Problems of cutting a 2D shape (usually a cake) in multiple pieces of equal areas often occur in daily life. Although the approximation by eye is faster, it is not always accurate. In this paper we are presenting multiple methods of cutting various 2D shapes in 2 or even more pieces of equal area. We also present a method for cutting some shapes with holes in them…
Mots clés : géométrie, polygone, construction à la règle et au compas, récurrenceProblems of cutting a 2D shape (usually a cake) in multiple pieces of equal areas often occur in daily life. Although the approximation by eye is faster, it is not always accurate. In this paper we are presenting multiple methods of cutting various 2D shapes in 2 or even more pieces of equal area. We also present a method for cutting some shapes with holes in them…
Article : Regardant autour - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Whether two points above the Earth surface can “see” each other depends on the distance between them and on their altitude. In the work, the relationship between distance and altitudes is calculated in various cases.
Mots clés : géométrie, trigonométrieArticle : Nombres au choix - Lycée Français de San Francisco
Étant donnés quatre nombres entiers a, b, x et y, on peut successivement multiplier par a ou ajouter b, dans l’ordre qu’on veut. En fonction de ces données, quand peut-on d’atteindre tous les entiers supérieurs à un certain nombre ? Ce problème est complètement résolu dans l’article au moyen de l’arithmétique et en particulier des congruences.
Mots clés : arithmétique, congruence, racine primitiveArticle : In between - Colegiul national B.P. Hasdeu (Buzau)
You get lost in a street with houses numbered from 1 to n (which is a positive integer - a known value), placed on only one side of the road. All you know is that the numbers of the houses on the right side of your home add up to the same result as the numbers of the houses on its left. Can you find your address?
Mots clés : somme d'entiers, carré, carré parfait, nombre triangulaireArticle : Calculs d'aire sur papier quadrillé - Lycée Catherine et Raymond Janot (Sens}
Le but est de trouver le lien unissant le nombre de points intérieurs, le nombre de points sur le bord, et l'aire d'un polygone dont les sommets sont des points d’un quadrillage. Une formule (formule de Pick) est conjecturée à partir d’exemples, puis démontrée dans des cas simples et une piste est donnée pour la généraliser.
Mots clés : polygone, aire, quadrillage, formule de PickArticle : Jeu de dés - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
L’enjeu du problème « Alea Jacta Est » est de définir une stratégie efficace pour un jeu de dés dont les règles sont les suivantes.
Ce jeu se joue avec deux joueurs et un meneur du jeu. Les joueurs prennent connaissance de deux dés cubiques équilibrés comportant des faces bleues et des faces rouges. Puis le meneur du jeu prend au hasard un dé sans le montrer aux joueurs. Il le lance alors à l’abri des regards et annonce la couleur de la face supérieure du dé lancé, comme on lit le numéro sorti au lancé d’un dé classique à faces chiffrées. Le but des joueurs est de deviner quel dé a été lancé. Le meneur du jeu lance son dé, en annonçant à chaque fois la couleur obtenue, jusqu’à ce qu’un des joueurs dise le dé qu’il pense avoir été lancé. S’il a raison, il marque un point pour cette manche ; un joueur doit accumuler trois points (un point par manche) pour gagner la partie. Si le joueur se trompe, l’autre joueur gagne définitivement la partie.
L’article propose une analyse du jeu à deux dés…
Mots clés : analyse de jeu, probabilité, stratégie gagnante, programmation, loi binomialeCe jeu se joue avec deux joueurs et un meneur du jeu. Les joueurs prennent connaissance de deux dés cubiques équilibrés comportant des faces bleues et des faces rouges. Puis le meneur du jeu prend au hasard un dé sans le montrer aux joueurs. Il le lance alors à l’abri des regards et annonce la couleur de la face supérieure du dé lancé, comme on lit le numéro sorti au lancé d’un dé classique à faces chiffrées. Le but des joueurs est de deviner quel dé a été lancé. Le meneur du jeu lance son dé, en annonçant à chaque fois la couleur obtenue, jusqu’à ce qu’un des joueurs dise le dé qu’il pense avoir été lancé. S’il a raison, il marque un point pour cette manche ; un joueur doit accumuler trois points (un point par manche) pour gagner la partie. Si le joueur se trompe, l’autre joueur gagne définitivement la partie.
L’article propose une analyse du jeu à deux dés…
Article : Balle aux prisonniers - Lycée Carnot (Paris)
Ce travail détermine les chances de victoire de chaque joueur lors d’un jeu de balle aux prisonniers à trois joueurs. Dans cette version, chaque joueur touché est éliminé, le dernier joueur est déclaré vainqueur.
La première étude consiste à modéliser le problème. Comme la durée de la partie n’est pas connue à priori, cela nécessite la mise au point « d’arbres en boucle » qui permettent de visualiser des situations qui se répètent.
Le deuxième travail, une fois les hypothèses clairement énoncées, consiste à établir des stratégies gagnantes pour chaque joueur, en fonction différents paramètres : ordre dans le jeu, précision du tir et choix de passer ou non son tour. Ce travail est basé sur le calcul des probabilités consécutif à l’étude des différentes possibilités.
Mots clés : arbre, stratégie gagnante, probabilitéLa première étude consiste à modéliser le problème. Comme la durée de la partie n’est pas connue à priori, cela nécessite la mise au point « d’arbres en boucle » qui permettent de visualiser des situations qui se répètent.
Le deuxième travail, une fois les hypothèses clairement énoncées, consiste à établir des stratégies gagnantes pour chaque joueur, en fonction différents paramètres : ordre dans le jeu, précision du tir et choix de passer ou non son tour. Ce travail est basé sur le calcul des probabilités consécutif à l’étude des différentes possibilités.
Article : Compter les rebonds - Lycée Carnot (Paris)
Deux cubes se déplacent sans frottements avec le sol sur une ligne droite bordée d'un côté par un mur. Initialement, le premier cube est immobile, et le second est lancé vers lui à une certaine vitesse. Les rebonds entre les 2 cubes et entre le premier cube et le mur sont supposés se produire sans perte d'énergie. Dans cet article, on détermine le nombre de rebonds en fonction des masses des cubes et de la vitesse initiale à l’aide d’une représentation géométrique. La généralisation au cas de plus de 2 cubes et la prise en compte de pertes d'énergie sont aussi envisagées.
Mots clés : dynamique, collisionArticle : Étude des espèces invasives - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This paper considers the development of a garden (represented by a matrix) in which, every year, plants spread seeds over the adjacent plots according to specified patterns. Different patterns are considered, and the growth of the garden is investigated by means of C++ programs or matrix operations.
Mots clés : matrice, algorithme, programmationArticle : Volume d’un arbre - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
The aim of the paper is the calculation of the volume and of the density of an idealized tree. Every branch in the tree has the form of a truncated cone and is assumed to generate two new smaller branches similar to it. The full tree is obtained by repeating the duplication process infinitely many times on each branch.
The volume of the full tree turns out to be expressed by a geometric series, which is convergent for suitable values of the ratio of similarity between two consecutive branches.
Another result presented in the work regards the density ρ of a tree. It is shown that ρ can be expressed in terms of the density of the dry tree, of the density of water, and of the percentage of water in the wet tree.
An Android application for calculating the volume is presented in the final section.
Mots clés : volume, densité, convergenceThe volume of the full tree turns out to be expressed by a geometric series, which is convergent for suitable values of the ratio of similarity between two consecutive branches.
Another result presented in the work regards the density ρ of a tree. It is shown that ρ can be expressed in terms of the density of the dry tree, of the density of water, and of the percentage of water in the wet tree.
An Android application for calculating the volume is presented in the final section.