Les sujets des ateliers MATh.en.JEANS
Multiplication continue
Ecole Internationale Française de Sharjah (Sharjah) 2025-2026La différence
Ecole Internationale Française de Sharjah (Sharjah) 2025-2026Le digicode de Sarah
Ecole Internationale Française de Sharjah (Sharjah) 2025-2026Mon numéro fétiche
Ecole Internationale Française de Sharjah (Sharjah) 2025-2026Le problème de Steiner
Collège Alain Fournier (Orsay), Collège Alexandre Fleming (Orsay) 2025-2026On souhaite relier trois bases sous-terraines en minimisant la longueur totale des
galeries à creuser. Comment s’y prendre ?
galeries à creuser. Comment s’y prendre ?
Calculatrice mystérieuse
Collège Alain Fournier (Orsay), Collège Alexandre Fleming (Orsay) 2025-2026Anne a avec elle une calculatrice avec seulement quatres touches qui réalisent les
opérations suivantes : "+n", "−n" et "×n ", mais n est un entier qu’Anne a choisi
sans le dévoiler. Au début "1" est affiché sur l’écran, mais celui-ci est caché. Peut-on
trouver une séquence de touches sur lesquelles appuyer, de sorte à ce que le résultat
soit à coup sûr un multiple de 6 ? Si oui, sur combien de touches au minimum faut-il
appuyer ? Et si on veut arriver à un multiple de 8 ?
opérations suivantes : "+n", "−n" et "×n ", mais n est un entier qu’Anne a choisi
sans le dévoiler. Au début "1" est affiché sur l’écran, mais celui-ci est caché. Peut-on
trouver une séquence de touches sur lesquelles appuyer, de sorte à ce que le résultat
soit à coup sûr un multiple de 6 ? Si oui, sur combien de touches au minimum faut-il
appuyer ? Et si on veut arriver à un multiple de 8 ?
Divisibilité, géométrie dans le triangle de Pascal
Lycée Jacques Amyot (Melun) 2025-2026Peut-on dénombrer le nombre de coefficients binomiaux divisibles par un certain entier ?
Comment sont disposés les nombres du triangle de Pascal divisibles par 2, 4, etc...
Divisibilité, Théorème de Gauss et petit détour vers les nombres p-adiques sont au programme !
Comment sont disposés les nombres du triangle de Pascal divisibles par 2, 4, etc...
Divisibilité, Théorème de Gauss et petit détour vers les nombres p-adiques sont au programme !
Le pâturage
Collège Théodore Monod (Lesquin) 2025-2026Dans un pré rectangulaire paissent des moutons.
Chaque mouton peut brouter l’herbe dans un espace délimité par des médiatrices :
Les moutons peuvent se déplacer à chaque étape dans l’espace délimité par la médiatrice du segment formé par les deux moutons
Questions : comment évoluent les différents espaces ?
Comment échanger les moutons 1 et 3 ?
Chaque mouton peut brouter l’herbe dans un espace délimité par des médiatrices :
Les moutons peuvent se déplacer à chaque étape dans l’espace délimité par la médiatrice du segment formé par les deux moutons
Questions : comment évoluent les différents espaces ?
Comment échanger les moutons 1 et 3 ?
Jeu des alumettes de Fort Monod
Collège Théodore Monod (Lesquin) 2025-2026Le jeu des allumettes se joue à 2. Il consiste à tirer chacun son tour soit une allumette, soit la moitié des allumettes restantes.
si le nombre d’allumettes restantes est impair, on arrondit au nombre supérieur.
Le joueur qui prend la dernière allumette a perdu.
Le but du sujet consiste à trouver une stratégie gagnante au jeu des allumettes.
si le nombre d’allumettes restantes est impair, on arrondit au nombre supérieur.
Le joueur qui prend la dernière allumette a perdu.
Le but du sujet consiste à trouver une stratégie gagnante au jeu des allumettes.
Echekia
Collège Théodore Monod (Lesquin) 2025-2026Le but du sujet consiste à placer des pièces du jeu d’échecs sans que les pièces ne puissent s’attaquer.
A Echekia, les royaumes cohabitent en paix car les troupes ne peuvent pas s’attaquer.
Comment placer les royaumes pour que cela continue ainsi ?
A Echekia, les royaumes cohabitent en paix car les troupes ne peuvent pas s’attaquer.
Comment placer les royaumes pour que cela continue ainsi ?
Mathématiland
Collège Théodore Monod (Lesquin) 2025-2026M. Pi souhaite construire sa ville composée de cercles et de segments.
Chaque cercle représente un point d'intérêt.
Plus le lieu est important, plus il coûte cher.
Tous les points d’intérêt doivent être reliés par des segments-routes.
Plus les routes sont longues, plus elles coûtent cher.
M. Pi veut minimiser le coût total de sa ville.
Chaque cercle représente un point d'intérêt.
Plus le lieu est important, plus il coûte cher.
Tous les points d’intérêt doivent être reliés par des segments-routes.
Plus les routes sont longues, plus elles coûtent cher.
M. Pi veut minimiser le coût total de sa ville.
Je compte, tu comptes, elle compte
Collège Théodore Monod (Lesquin) 2025-2026Etidier différentes manières de compter :
la façon normale
la façon avec des 0 et des 1
le nombre d'unités est toujours plus grand que le nombre de dizaines, le nombre de dizaines est toujours plus grand que le nombre de centaines ...
la façon normale
la façon avec des 0 et des 1
le nombre d'unités est toujours plus grand que le nombre de dizaines, le nombre de dizaines est toujours plus grand que le nombre de centaines ...
Les collections (de cartes)
Lycée Jean-Baptiste Corot (Douai) 2025-2026Quelle probabilité a-t-on d'avoir une collection complète après avoir acheté p cartes d'une collection qui en contient n différentes? On commence par s'intéresser au cas où toutes les cartes ont la même fréquence et où on suppose que le nombre de cartes en vente est suffisamment grand pour qu'on puisse assimiler un achat à un tirage avec remise.
Découpages siamois
Collège Pierre Fouché (Ille-sur-Têt) 2025-2026Étant donnée une figure plane, est-il possible de déterminer si elle peut être découpée en deux figures superposables ?
Rebond-bond-bond-bond-bond-bond
Collège Pierre Fouché (Ille-sur-Têt) 2025-2026On lance sur l’extrémité d’un segment de longueur n (entier n > 1) une balle qui rebondit de n longueurs, puis de n−1, n−2, . . ., 3, 2, 1, et s’immobilise (les rebonds pouvant être vers l’avant ou l’arrière). Quelles sont les longueurs pour lesquelles la balle peut s’arrêter à l’autre extrémité du segment ?
Totalement différent !
Collège Pierre Fouché (Ille-sur-Têt) 2025-2026Anne, Béatrice et Charles ont respectivement 1€, 3€ et 5€ pour argent de poche. En essayant de mettre en commun, ils se rendent compte que quelque soit la façon dont ils regroupent ces sommes (seul, par deux, par trois) ils obtiennent toujours un total différent. Arrive alors Denis, avec 14€, et à leur grand étonnement, cette fois encore, les sommes que l’on peut obtenir en regroupant l’argent de certains d’entre eux donne chaque fois un résultat différent.
Sauriez-vous construire une suite, aussi longue que l’on veut, de nombres entiers, qui de quelque façon qu’on les regroupe, donnent à chaque fois un résultat différent ?
Sauriez-vous construire une suite, aussi longue que l’on veut, de nombres entiers, qui de quelque façon qu’on les regroupe, donnent à chaque fois un résultat différent ?
Simples aires
Collège Pierre Fouché (Ille-sur-Têt) 2025-2026Sur une grille de points (espacés de 1 cm), on trace un polygone (non aplati) en reliant des points de la grille.
On se demande s’il est possible de calculer simplement son aire en comptant certains points.
On se demande s’il est possible de calculer simplement son aire en comptant certains points.
Labubu perdu
École Voltaire - Lycée Français (Berlin), Lycée français Gustave Eiffel (Budapest) 2025-2026Vous avez perdu votre Labubu dans les rues de Budapest. Heureusement, vos amis vous aident à le chercher. Vous voulez que chaque rue ne soit parcourue qu'une seule fois. De combien d'amis avez-vous besoin au minimum ?
Découpage de polygones
Lycée Guillaume Fichet (Bonneville), Collège les Barattes (Annecy) 2025-2026On considère deux polygones de même aire et on se demande s'il est possible de trouver un moyen de découper le premier pour qu'en réarrangeant les morceaux, on obtienne le second.
Le jeu du dernier carreau
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2025-2026Les triangles équilibrés
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2025-2026 Le dé le plus fort
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2025-2026Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2025-2026
Propagation d'une maladie
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2025-2026Réseaux électriques
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2025-2026Le jeu des allumettes
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2025-2026Le jeu du chocolat
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2025-2026Les motifs islamiques
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2025-2026L'IA
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2025-2026Les fourmis
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2025-2026La constante de Kaprekar
Lycée Classique de Diekirch 2025-2026Tu prends un nombre à 3 chiffres, avec au moins deux chiffres différents.
Tu classes les chiffres une fois du plus grand au plus petit, puis une fois du plus petit au plus grand.
Ensuite, tu fais la différence entre les deux nombres, et tu répètes l’opération.
À partir d’un certain moment, tu obtiens toujours la constante de Kaprekar : 495.
Pourquoi cela se produit-il ?
Et peut-on faire la même chose avec : 2 / 4 / une infinité de chiffres ?
Tu classes les chiffres une fois du plus grand au plus petit, puis une fois du plus petit au plus grand.
Ensuite, tu fais la différence entre les deux nombres, et tu répètes l’opération.
À partir d’un certain moment, tu obtiens toujours la constante de Kaprekar : 495.
Pourquoi cela se produit-il ?
Et peut-on faire la même chose avec : 2 / 4 / une infinité de chiffres ?
Trouver le bon chemin
Lycée Classique de Diekirch 2025-2026Un voyageur arrive à un carrefour. Il sait qu’à cet endroit il va trouver deux routes : un cul de sac et la bonne route. Il y a trois frères à ce carrefour : F1; F2 et F3. F1 dit la vérité 1 fois sur 10. F2 dit la vérité 3 fois sur 10. F3 dit la vérité 9 fois sur 10. Il n’y a personne d’autre à ce carrefour. Le voyageur s’adresse au hasard à un et un seul des trois frères. Il lui demande son chemin, et s’aperçoit par la suite que ce chemin est le bon.
Quelle est la probabilité qu’il se soit adressé à F1 ?
Quelle est la probabilité qu’il se soit adressé à F1 ?
Paver des carrés avec des dominos
Lycée Jules Hardouin Mansart (Saint-Cyr-l'école) 2025-2026« Say what you see ! »
Lycée Joséphine Baker (Toulouse) 2025-2026On donne le début d’une suite « logique » de nombres. Complétez là.
1
11
21
1211
Observez des propriétés pour cette suite. Saurez-vous les démontrer ?
1
11
21
1211
Observez des propriétés pour cette suite. Saurez-vous les démontrer ?
Comme par magie !
Lycée Joséphine Baker (Toulouse) 2025-2026Une magicienne et son assistant disposent d’un plateau carré de 4 lignes et 4 colonnes ainsi que des jetons blancs et rouges. La magicienne se trouve dans une autre pièce.
Un élève remplit le plateau 4 × 4 avec des jetons des 2 couleurs à sa guise, un jeton par case. L’assistant regarde le plateau et décide alors de changer la couleur d’un seul jeton du plateau. L’élève change à son tour la couleur d’un 2ème jeton.
La magicienne entre dans la pièce et réussit à tous les coups à déterminer quel est le jeton que l’élève a changé.
Impressionnant non ?
Saurez-vous expliquer ce tour de magie ?
Ensuite, en modifiant une partie des règles selon vos choix (dimension du plateau, qui change son jeton en 1er : l’assistant ou l’élève ?), le tour de magie fonctionne-t-il toujours pour continuer à bluffer le public ?
Un élève remplit le plateau 4 × 4 avec des jetons des 2 couleurs à sa guise, un jeton par case. L’assistant regarde le plateau et décide alors de changer la couleur d’un seul jeton du plateau. L’élève change à son tour la couleur d’un 2ème jeton.
La magicienne entre dans la pièce et réussit à tous les coups à déterminer quel est le jeton que l’élève a changé.
Impressionnant non ?
Saurez-vous expliquer ce tour de magie ?
Ensuite, en modifiant une partie des règles selon vos choix (dimension du plateau, qui change son jeton en 1er : l’assistant ou l’élève ?), le tour de magie fonctionne-t-il toujours pour continuer à bluffer le public ?
Un partage sans faim
Lycée Joséphine Baker (Toulouse) 2025-2026À l’automne, une population d’écureuils fait le plein de noisettes pour passer l’hiver. Chaque écureuil
effectue sa récolte personnelle. Pour autant, afin que personne ne manque de rien, un système de
partage particulier est mis en place. Quand deux écureuils se rencontrent, ils comparent leurs
récoltes. L’écureuil qui a le plus de noisettes donne autant de noisettes que l’autre écureuil en a. Puis
ils recommencent ce procédé jusqu’à ce que les deux écureuils aient le même nombre de noisettes.
Y-a-t-il des situations où le partage ne s’arrête pas ? Dans le cas où il se termine, combien d’étapes
ont été nécessaires ?
On étudiera d’abord le cas où il n’y a que deux écureuils. Puis on pourra étudier un système à 3
écureuils puis à 𝑛 écureuils, les rencontres se faisant de façon aléatoire
effectue sa récolte personnelle. Pour autant, afin que personne ne manque de rien, un système de
partage particulier est mis en place. Quand deux écureuils se rencontrent, ils comparent leurs
récoltes. L’écureuil qui a le plus de noisettes donne autant de noisettes que l’autre écureuil en a. Puis
ils recommencent ce procédé jusqu’à ce que les deux écureuils aient le même nombre de noisettes.
Y-a-t-il des situations où le partage ne s’arrête pas ? Dans le cas où il se termine, combien d’étapes
ont été nécessaires ?
On étudiera d’abord le cas où il n’y a que deux écureuils. Puis on pourra étudier un système à 3
écureuils puis à 𝑛 écureuils, les rencontres se faisant de façon aléatoire
Jeu de traits et de points
Lycée Joséphine Baker (Toulouse) 2025-2026Il y a deux joueurs dont l’un trace des traits toujours de même longueur et l’autre dessine des points.
Le joueur1 trace des traits de longueur 1 sur le plan. Il doit réussir à fermer une aire ne contenant aucun
point.
A chaque fois que le joueur1 trace un trait, le joueur2 ajoute un point, dans le but d’empêcher le joueur1
d’arriver à ses fins.
Remarque : Le joueur1 ne peut pas tracer ses traits sur les points du joueur2, et le joueur2 ne peut pas placer ses
points sur les traits du joueur2.
Peut-on trouver des stratégies gagnantes pour le joueur1 ? Pour le joueur2 ?
Le joueur1 trace des traits de longueur 1 sur le plan. Il doit réussir à fermer une aire ne contenant aucun
point.
A chaque fois que le joueur1 trace un trait, le joueur2 ajoute un point, dans le but d’empêcher le joueur1
d’arriver à ses fins.
Remarque : Le joueur1 ne peut pas tracer ses traits sur les points du joueur2, et le joueur2 ne peut pas placer ses
points sur les traits du joueur2.
Peut-on trouver des stratégies gagnantes pour le joueur1 ? Pour le joueur2 ?
Modéliser une épidémie
Lycée Joséphine Baker (Toulouse) 2025-2026Dans la vie quotidienne, les vaccins proposent certes une protection individuelle : chaque individu, en se vaccinant contre une maladie, est presque assuré de ne pas contracter cette maladie. Mais les vaccins forment aussi une protection collective. En effet, les vaccins empêchent la multiplication de l'agent pathogène chez les personnes vaccinées : elles ne peuvent ainsi pas le transmettre. Plus il y a de personnes vaccinées, moins les agents pathogènes peuvent se développer en eux et donc contaminer les non vaccinés, et donc moins la maladie prendra de l'envergure. Ainsi, plus la proportion de vaccinés sera grande au sein d'une population, moins il y aura de contaminés au sein des non vaccinés.
On souhaite, par le biais d'une modélisation, répondre à la question suivante : La proportion de vaccinés dans une population a-t-elle une influence sur la durée de propagation d'une épidémie et sur le nombre d'individus qu'elle touche ?
Objectif : Chercher à… voir la suite
On souhaite, par le biais d'une modélisation, répondre à la question suivante : La proportion de vaccinés dans une population a-t-elle une influence sur la durée de propagation d'une épidémie et sur le nombre d'individus qu'elle touche ?
Objectif : Chercher à… voir la suite
Découpage d'un triangle
Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès), Lycée Bellevue (Alès) 2025-2026Nombres palindromes
Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès), Lycée Bellevue (Alès) 2025-2026La conjecture de Proth-Gilbreath
Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès), Lycée Bellevue (Alès) 2025-2026Deux copines est un elastique
Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) 2025-2026Sophie et Cathy ont relié leurs chevilles par un élastique. Elles partent du même endroit, près du coin extérieur d'un bâtiment, et se déplacent à angle droit, à des vitesses différentes : Sophie à 2 m/s et Cathy à 1,5 m/s. Quand l'élastique touche-t-il pour la première fois le coin du bâtiment ? Quand est-il complètement tendu et où se trouvent les filles à ce moment-là ?
Les mélanges de cartes magiques
Lycée Franklin Roosevelt (Reims) 2025-2026La célèbre magicienne Miss Westcar présente un nouveau tour de magie : elle demande à une personne
du public de choisir une carte dans un paquet de 52 cartes, de la regarder puis de la placer en-dessous
du paquet. Ensuite, elle demande à quelqu’un d’autre de lui donner une position entre 1 et 52. Miss
Westcar se met alors à mélanger le paquet, et lorsqu’elle s’arrête de mélanger, on retrouve la carte choisie
exactement à la position demandée.
Un spectateur perspicace a remarqué que la magicienne utilise une méthode particulière pour mélanger
les cartes. En effet, elle a coupé le paquet en deux moitiés, les a placées face à face et les a imbriquées
en intercalant les cartes de l’une et l’autre moitié en alternance. Puis elle a répété plusieurs fois cette
opération, appelée mélange parfait.
Comment expliquer le tour de magie ? La magicienne peut-elle réaliser le même tour avec un paquet
de n’importe quel nombre de cartes ?
du public de choisir une carte dans un paquet de 52 cartes, de la regarder puis de la placer en-dessous
du paquet. Ensuite, elle demande à quelqu’un d’autre de lui donner une position entre 1 et 52. Miss
Westcar se met alors à mélanger le paquet, et lorsqu’elle s’arrête de mélanger, on retrouve la carte choisie
exactement à la position demandée.
Un spectateur perspicace a remarqué que la magicienne utilise une méthode particulière pour mélanger
les cartes. En effet, elle a coupé le paquet en deux moitiés, les a placées face à face et les a imbriquées
en intercalant les cartes de l’une et l’autre moitié en alternance. Puis elle a répété plusieurs fois cette
opération, appelée mélange parfait.
Comment expliquer le tour de magie ? La magicienne peut-elle réaliser le même tour avec un paquet
de n’importe quel nombre de cartes ?
Des escaliers de pixels
Lycée Franklin Roosevelt (Reims) 2025-2026Dans le jeu de plateforme Minecroft2D©, le monde est composé de blocs de 1 mètre par 1 mètre. Un
joueur veut créer une rampe de pente a/b . Pour cela, il se place dans une grille de b mètres par a mètres (a
et b sont des entiers strictement positifs), et il remplit l’espace en-dessous de la diagonale avec le plus de
blocs possible, comme sur la figure ci-dessous. Cela crée un escalier, que l’on encode par un mot binaire
en notant 0 pour un pas vers la droite et 1 pour un pas vers le haut. On dit alors que la pente a/b est
encodée par ce mot binaire.
Est-ce qu’on obtient tous les mots binaires par ce procédé ? Si non, comment savoir si un mot binaire
donné est un mot encodant une certaine pente ? Inversement, peut-on calculer à l’avance le mot encodant
une pente a/b , sans dessiner effectivement la pente ?
joueur veut créer une rampe de pente a/b . Pour cela, il se place dans une grille de b mètres par a mètres (a
et b sont des entiers strictement positifs), et il remplit l’espace en-dessous de la diagonale avec le plus de
blocs possible, comme sur la figure ci-dessous. Cela crée un escalier, que l’on encode par un mot binaire
en notant 0 pour un pas vers la droite et 1 pour un pas vers le haut. On dit alors que la pente a/b est
encodée par ce mot binaire.
Est-ce qu’on obtient tous les mots binaires par ce procédé ? Si non, comment savoir si un mot binaire
donné est un mot encodant une certaine pente ? Inversement, peut-on calculer à l’avance le mot encodant
une pente a/b , sans dessiner effectivement la pente ?
Coïncidix
Lycée Franklin Roosevelt (Reims) 2025-2026Coïncidix est un jeu de logique où il faut placer des pièces en bois pour former un carré en faisant
coïncider les trous des pièces avec des cases particulières de la grille. Combien de grilles différentes peut-on élaborer ? Pour une grille donnée, y a-t-il une unique solution ?
De combien de façons peut-on agencer les pièces pour former un carré, si on ne tient pas compte des
trous ?
coïncider les trous des pièces avec des cases particulières de la grille. Combien de grilles différentes peut-on élaborer ? Pour une grille donnée, y a-t-il une unique solution ?
De combien de façons peut-on agencer les pièces pour former un carré, si on ne tient pas compte des
trous ?
La salle de bain du Prince
Lycée Franklin Roosevelt (Reims) 2025-2026Le Prince veut refaire sa salle de bain. Comme il se pique de mathématiques, il souhaite que les
carreaux contiennent des nombres qui respectent une règle bien précise.
carreaux contiennent des nombres qui respectent une règle bien précise.
Les toiles d'airaignées
Collège Kieffer (Bitche) 2025-2026Les toiles d’araignée sont différentes d’une espèce à une autre. Lorsque le cadre, c’est-à-dire les longueurs des rayons et les angles au noyau
de la toile, est donné, il s'agira de calculer la longueur d'une toile d'araignée.
de la toile, est donné, il s'agira de calculer la longueur d'une toile d'araignée.
Comment calculer l'aire de la France?
Collège Kieffer (Bitche) 2025-2026A l'aide de planches cloutées, des formes géométriques sont construites et des conjectures sont mises en évidence. Ce sont ainsi des aides pour calculer l'aire de la France.
Combien les chiens ont-ils de poils?
Collège Kieffer (Bitche) 2025-2026La densité de poils au cm² pour deux types de chien étant donnée, il s'agit de décomposer géométriquement un chien pour connaître le nombre de poils qu'il revêt.
Dessiner d'un seul trait
Collège Kieffer (Bitche) 2025-2026Picasso aimait dessiner d'un seul trait. Observations de ses œuvres, parallèle avec les graphes et mise en évidence de propriétés. Résolution du problème des sept ponts de Königsberg et autres problèmes.
Gribouillages
Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Jules Ferry (Paris) 2025-2026Deux amis s’ennuient dans une salle d’attente et attrapent un magazine sur lequel ils commencent à dessiner. Chacun dessine une courbe (fermée ou non, en un seul ou en plusieurs morceaux), puis comme l’attente devient vraiment longue, ils continuent leur dessin en entourant complètement la courbe initiale avec une nouvelle courbe qui suit la première à une (petite) distance constante, et ainsi de suite, en ajoutant à chaque fois une nouvelle courbe entourant la précédente, toujours en restant à la même distance de celle-ci.
Que peut-on dire de la forme du dessin après un grand nombre d’étapes? Quels sont le périmètre et l’aire de la figure après n étapes ?
On pourra aussi d’intéresser à la généralisation en dimension plus grande, par exemple avec un solide (par exemple un pavé droit) que l’on recouvre par des couvertures successives d’épaisseurs constantes. Que deviennent la forme, le volume et la surface après plusieurs étapes ?
Que peut-on dire de la forme du dessin après un grand nombre d’étapes? Quels sont le périmètre et l’aire de la figure après n étapes ?
On pourra aussi d’intéresser à la généralisation en dimension plus grande, par exemple avec un solide (par exemple un pavé droit) que l’on recouvre par des couvertures successives d’épaisseurs constantes. Que deviennent la forme, le volume et la surface après plusieurs étapes ?
Encore du foot !
Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Jules Ferry (Paris) 2025-2026Un terrain de football rectangulaire est divisé en trois zones : le milieu du terrain, et les deux zones des buts. Deux équipes de n joueurs s’affrontent sur le terrain, avec les règles suivantes :
1. Avant le coup d’envoi, chaque équipe répartit ses n joueurs dans les trois zones, et les joueurs ne pourront plus bouger de leur zone ensuite.
2. Quand la balle arrive dans une zone, elle est attribuée aléatoirement à l’un des joueurs de cette zone, de façon équiprobable.
3. Le joueur qui a récupéré la balle l’envoie immédiatement vers l’avant : vers le milieu s’il est en défense, vers le but adverse s’il est au milieu, et dans le but s’il est en attaque.
On pourra s’intéresser à des matchs où la première équipe qui marque gagne le match, ou alors des matchs en 3 buts par exemple. Et commencer par regarder un petit nombre de joueurs par équipe (par exemple n = 3, 4, 5, 6.
Si la répartition des équipes est fixées, quelle est la probabilité pour chaque équipe de marquer le prochain… voir la suite
1. Avant le coup d’envoi, chaque équipe répartit ses n joueurs dans les trois zones, et les joueurs ne pourront plus bouger de leur zone ensuite.
2. Quand la balle arrive dans une zone, elle est attribuée aléatoirement à l’un des joueurs de cette zone, de façon équiprobable.
3. Le joueur qui a récupéré la balle l’envoie immédiatement vers l’avant : vers le milieu s’il est en défense, vers le but adverse s’il est au milieu, et dans le but s’il est en attaque.
On pourra s’intéresser à des matchs où la première équipe qui marque gagne le match, ou alors des matchs en 3 buts par exemple. Et commencer par regarder un petit nombre de joueurs par équipe (par exemple n = 3, 4, 5, 6.
Si la répartition des équipes est fixées, quelle est la probabilité pour chaque équipe de marquer le prochain… voir la suite
Dominos
Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Jules Ferry (Paris) 2025-2026Dans ce jeu à deux joueurs, le plateau est un rectangle de dimension m × n, formé de mn cases carrées. Chaque joueur dispose de dominos (tous identiques, de dimension 2 × 1). Chacun à son tour, les joueurs placent un domino sur le plateau, sans chevauchement et en respectant les emplacements délimités par les cases. Celui qui ne peut plus jouer a perdu.
Comment faire pour bien jouer à ce jeu ? Et si on change la forme des dominos ?
Comment faire pour bien jouer à ce jeu ? Et si on change la forme des dominos ?
Dessins traditionnels
Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Jules Ferry (Paris) 2025-2026Le peuple Tchokwé, vivant en Angola, république démocratique de Congo et Zambie, pratique une forme de dessins traditionnels appelés sonas, notamment sur le sable, obéissant aux règles principales suivantes : — la figure initiale est une grille rectangulaire (parfois polygonale) formée de points noirs régulière-
ment espacés.
— l’artiste trace une ligne droite commençant où il le souhaite, dans une direction correspondant
aux diagonales de la grille.
— quand la ligne sort de la grille, elle fait un virage pour revenir dans la grille, dans la première direction diagonale possible.
— le dessin s’arrête lorsque l’on revient au point de départ.
Ces dessins suggèrent de nombreuses questions mathématiques, par exemple : avec les règles précédentes, de combien de lignes a-t-on besoin pour finir le dessin et isoler tous les points (avec ou sans miroirs) ? Si on fixe la taille du rectangle initial, combien de dessins différents peut-on faire en ajoutant des miroirs ? Et… voir la suite
ment espacés.
— l’artiste trace une ligne droite commençant où il le souhaite, dans une direction correspondant
aux diagonales de la grille.
— quand la ligne sort de la grille, elle fait un virage pour revenir dans la grille, dans la première direction diagonale possible.
— le dessin s’arrête lorsque l’on revient au point de départ.
Ces dessins suggèrent de nombreuses questions mathématiques, par exemple : avec les règles précédentes, de combien de lignes a-t-on besoin pour finir le dessin et isoler tous les points (avec ou sans miroirs) ? Si on fixe la taille du rectangle initial, combien de dessins différents peut-on faire en ajoutant des miroirs ? Et… voir la suite
Solitaire
Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Jules Ferry (Paris) 2025-2026Le jeu de solitaire se joue (tout seul évidemment) sur un plateau où sont tracées des lignes sur lesquelles se trouvent des trous. Tous les trous sont occupés par des billes. On enlève l’une des billes, puis le jeu commence : chaque coup consiste à faire sauter une bille au-dessus de l’une de ses voisines (en suivant une ligne) pour atterrir dans la case suivante (qui doit être libre), puis à enlever la bille qui a été survolée. Le jeu est gagné quand il ne reste qu’une bille.
Dans un premier temps, on s’intéressera à différentes formes de plateaux (par exemple, des rectangles quadrillés, ou des triangles, ou les plateaux classiques de solitaire) et on se demandera lesquels de ces jeux peuvent être résolus, si l’on dispose d’un algorithme explicite pour le résoudre, et aussi si cela dépend de la position de la bille retirée au début du jeu.
Dans un second temps, on pourra étudier la variante suivante : le plateau est une quadrillage infini, et toutes les positions de la moitié inférieure du… voir la suite
Dans un premier temps, on s’intéressera à différentes formes de plateaux (par exemple, des rectangles quadrillés, ou des triangles, ou les plateaux classiques de solitaire) et on se demandera lesquels de ces jeux peuvent être résolus, si l’on dispose d’un algorithme explicite pour le résoudre, et aussi si cela dépend de la position de la bille retirée au début du jeu.
Dans un second temps, on pourra étudier la variante suivante : le plateau est une quadrillage infini, et toutes les positions de la moitié inférieure du… voir la suite
Triplets Pythagoriciens
Lycée Raynouard (Brignoles) 2025-2026Recherche de triplets pythagoriciens
Quel désordre!
Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan), Lycée Jean Lurçat (Perpignan) 2025-2026Un certain nombre de coureurs participent à un marathon. Chacun a un dossard. Ces dossards sont numérotés de 1 à n, n étant le nombre de coureurs. A l’issue de la course, en supposant qu’il n’y a aucun ex aequo, il y a le classement des coureurs de la première à la nième place.
Quelle est la probabilité qu’aucun coureur ne soit classé à la place correspondant à son numéro de dossard ?
Quelle est la probabilité qu’aucun coureur ne soit classé à la place correspondant à son numéro de dossard ?
Les invasions barbares
Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan), Lycée Jean Lurçat (Perpignan) 2025-2026Un territoire plan, quadrillé, est coupé en deux par une frontière (ligne droite). Au nord, c’est le désert (aucune case n’est occupée). Au sud, toutes les cases sont occupées par un individu (à l’infini à l’est, à l’ouest et au sud). Ces individus peuvent se déplacer en suivant les règles du jeu du solitaire : dans toutes les directions un pion peut passer par-dessus un autre si la case de réception est libre et dans ce cas le pion survolé est éliminé. Forts de cette capacité, ces individus commencent à envahir le nord du territoire.
Pourront-ils le conquérir aussi loin qu’ils le veulent ?
Pourront-ils le conquérir aussi loin qu’ils le veulent ?
Les grandes dates de l'Histoire
Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan), Lycée Jean Lurçat (Perpignan) 2025-2026En calculant les puissances de 2 peut-on obtenir un nombre qui commence par n’importe lequel des chiffres 1, 2, · · · , 9 ?
Peut-on en obtenir un qui commence par 1492 ? 1515 ? 1789 ? votre année de naissance ? un groupe de chiffres arbitraire de votre choix ? Si on en revient aux seuls chiffres, que pensez-vous de la fréquence d’apparition du chiffre 1 ? 2 ? etc. Sont-elles les mêmes ? Sinon, que peut-on en dire ?
Peut-on en obtenir un qui commence par 1492 ? 1515 ? 1789 ? votre année de naissance ? un groupe de chiffres arbitraire de votre choix ? Si on en revient aux seuls chiffres, que pensez-vous de la fréquence d’apparition du chiffre 1 ? 2 ? etc. Sont-elles les mêmes ? Sinon, que peut-on en dire ?
Histoire de la puce qui jouait à la marelle...
Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan), Lycée Jean Lurçat (Perpignan) 2025-2026Une puce joue à la marelle. Sa marelle est infinie et “linéaire” (pas de double case pour poser les deux pieds... euh pattes) ; la puce part de la “terre” (=0) et se dirige toujours de l’avant vers le “ciel” (= +∞). Elle peut faire des bonds de 3 cases ou de 5 cases. Quelles cases peut-elle atteindre ainsi en itérant autant de fois qu’elle le souhaite ses sauts ?
Et si maintenant elle fait des bonds de a ou b cases ?
Et si maintenant elle fait des bonds de a ou b cases ?
À la queuleuleu
Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan), Lycée Jean Lurçat (Perpignan) 2025-2026Quels sont les entiers ≥ 1 qui peuvent s’écrire comme une somme d’au moins deux entiers consécutifs ?
Et d’au moins trois ?
Et d’au moins trois ?
Chauffage Collectif
Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan), Lycée Jean Lurçat (Perpignan) 2025-2026On suppose que dans un édifice rectangulaire composé d’un certain nombre de locaux carrés identiques, un local mitoyen de quatre autres locaux a sa température qui chaque minute se transforme en la moyenne des températures des quatre locaux adjacents. Ceux des locaux qui sont périphériques (donnent sur l’extérieur et ont donc au plus trois voisins) ont en revanche une température conservée constante au cours du temps.
Une distribution de températures étant donnée à un instant initial, comment évoluent au cours du temps les températures des différents locaux ?
Une distribution de températures étant donnée à un instant initial, comment évoluent au cours du temps les températures des différents locaux ?
The fair price
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2025-2026A three coin dilemma
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2025-2026A sequentially paved sidewalk
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2025-2026Unlock the padlock
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2025-2026Pendulum and centroids
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2025-2026Last card standing
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2025-2026Jumping frogs
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2025-2026Loot.box\Mean
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2025-2026The spread of gossip in a college
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2025-2026Le bijoutier
Collège Alain Fournier (Orsay), Collège Alexandre Fleming (Orsay) 2025-2026Un bijoutier veut déterminer la masse de ses bijoux. Il sait qu’ils font entre 1 et 40 grammes (la masse est toujours un nombre entier). Pour cela, il dispose de poids de n’importe quelles masses et en autant d’exemplaires qu’il le souhaite. De combien
de poids au minimum a-t-il besoin pour tester la masse de n’importe bijoux ?
de poids au minimum a-t-il besoin pour tester la masse de n’importe bijoux ?
Arbres enracinés
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2025-2026Le constructeur d’autoroutes
Collège Alain Fournier (Orsay), Collège Alexandre Fleming (Orsay) 2025-2026Plusieurs conseils municipaux décident de construire des autoroutes entre certaines de leurs villes. Ils font appel à un constructeur spécialisé d’autoroutes pour savoir si la chose est réalisable. La seule contrainte à laquelle est soumise celui-ci est qu’il ne peut y avoir de croisement entre deux autoroutes, autrement dit que les liaisons demandées entre villes ne se croisent jamais. Peut-il accepter toutes les propositions de liaisons ou doit-il se méfier de certaines ?
Arbres binaires planaires
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2025-2026Jeu des différences
Collège Alain Fournier (Orsay), Collège Alexandre Fleming (Orsay) 2025-2026On place Alice, Bob, Camille et David en cercle. Chacun choisit un nombre entier positif qu’il dit à voix haute. Une fois que cela est fait, chacun calcul l’écart (valeur positive) entre son nombre et celui de son voisin de droite, puis le dit à voix haute.
Une fois que chacun s’est de nouveau exprimé, on recommence suivant la même règle : chacun donne l’écart entre son nouveau chiffre et celui de son voisin de droite. Si on répète cette règle aussi longtemps que l’on veut, que va-t-il se passer ?
Une fois que chacun s’est de nouveau exprimé, on recommence suivant la même règle : chacun donne l’écart entre son nouveau chiffre et celui de son voisin de droite. Si on répète cette règle aussi longtemps que l’on veut, que va-t-il se passer ?
pandrosian et la duplication du cube
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2025-2026Parcours de trains
Collège Alain Fournier (Orsay), Collège Alexandre Fleming (Orsay) 2025-2026Marine a reçu en cadeau un kit qui contient des petits trains mécaniques, et 10 unités de rails modulables (on peut les tordre comme on le souhaite, et par exemple faire une boucle avec une seule unité). Les unités de rails sont parcourues en 1 minute
par les trains. Marine veut former plusieurs pistes (autant qu’elle le souhaite) et place un petit train sur chaque piste. Elle allume les trains en même temps et se rend compte qu’après un certain temps tous les trains se retrouvent simultanément
à leurs positions initiales. Elle se dit que ce serait plus amusant de repousser au maximum cet instant. Elle a commencé en faisant une piste de 4 unités et une piste de 6 unités. Peut-elle faire mieux que cela ? Quelle est la configuration la meilleure
possible ? Et si elle avait 20 unités en total ? 30 unités ?
par les trains. Marine veut former plusieurs pistes (autant qu’elle le souhaite) et place un petit train sur chaque piste. Elle allume les trains en même temps et se rend compte qu’après un certain temps tous les trains se retrouvent simultanément
à leurs positions initiales. Elle se dit que ce serait plus amusant de repousser au maximum cet instant. Elle a commencé en faisant une piste de 4 unités et une piste de 6 unités. Peut-elle faire mieux que cela ? Quelle est la configuration la meilleure
possible ? Et si elle avait 20 unités en total ? 30 unités ?
La vache et le paysan
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2025-2026Chocolats et noisettes
Collège Alain Fournier (Orsay), Collège Alexandre Fleming (Orsay) 2025-2026Au goûter, Marius a le droit à un bonbon qu’il pioche dans un grand sac. Mais ses parents réalisent que manger autant de sucre, ce n’est pas raisonnable. Ils décident donc de rajouter des noisettes dans le sac. À chaque goûter, Camille pioche maintenant au hasard soit un bonbon, soit une noisette. Si c’est une noisette, alors les parents de Marius rajoutent deux nouvelles noisettes dans le sac ! Le pauvre Marius va-t-il pouvoir manger tous ses bonbons ?
Le Rubik’s Cube
Collège Alain Fournier (Orsay), Collège Alexandre Fleming (Orsay) 2025-2026On se donne une séquence de mouvements au Rubik’s Cube qu’on répète en boucle.
Que se passera-t-il ? Existe-t-il une séquence de mouvements, qui ne dépend pasde la configuration initiale, et telle qu’à force de la répéter, on finit forcément par résoudre le Rubik’s Cube ?
Que se passera-t-il ? Existe-t-il une séquence de mouvements, qui ne dépend pasde la configuration initiale, et telle qu’à force de la répéter, on finit forcément par résoudre le Rubik’s Cube ?
Le paradoxe de Penney
Collège Alain Fournier (Orsay), Collège Alexandre Fleming (Orsay) 2025-2026Vous jouez au jeu de pièce suivant avec votre ami : l’un parie sur l’enchaînement Pile-Pile-Face et l’autre sur Face-Pile-Pile. Vous lancez une pièce jusqu’à ce qu’un de ces enchaînements apparaisse, et la personne qui a parié dessus gagne le jeu. Sur
quelle configuration vaut-il mieux miser ?
quelle configuration vaut-il mieux miser ?
Le pion caché
Collège Alain Fournier (Orsay), Collège Alexandre Fleming (Orsay) 2025-2026On considère n boîtes placées en ligne. Toutes les boîtes sont vides sauf la première qui contient un objet. Marc choisit un nombre i qu’il ne divulgue pas à son amie Alice. Pendant qu’Alice se cache les yeux, il déplace l’objet i boîtes plus loin. Si Marc
arrive au bout de la ligne, il repart du début (cela compte pour un déplacement). Alice choisit alors une boîte, et si l’objet est dedans le jeu s’arrête. Sinon, elle se cache de nouveau les yeux et Marc redéplace l’objet du même nombre i de boîtes.
Montrer qu’Alice peut se débrouiller pour arrêter le jeu en moins de n essais. Avec 6 boîtes, montrer qu’elle peut réussir en 4 coups seulement, quelque soit le nombre i choisi par Marc. Montrer qu’elle ne peut pas trouver de stratégie meilleure.
Qu’en est-il pour 8 boîtes ? 7 boîtes ?
arrive au bout de la ligne, il repart du début (cela compte pour un déplacement). Alice choisit alors une boîte, et si l’objet est dedans le jeu s’arrête. Sinon, elle se cache de nouveau les yeux et Marc redéplace l’objet du même nombre i de boîtes.
Montrer qu’Alice peut se débrouiller pour arrêter le jeu en moins de n essais. Avec 6 boîtes, montrer qu’elle peut réussir en 4 coups seulement, quelque soit le nombre i choisi par Marc. Montrer qu’elle ne peut pas trouver de stratégie meilleure.
Qu’en est-il pour 8 boîtes ? 7 boîtes ?
Les chatons turbulents :
Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2025-2026La chatte Evisa fait la sieste avec ses quatre chatons dans un panier. Elle se réveille au bout d'une heure et constate qu'ils sont partis en vadrouille chacun dans une direction différente.
Ils avancent en ligne droite, chacun à sa vitesse, soit 5km/h, 8km/h, 10km/h et 12km/h respectivement. Elle part immédiatement et va les récupérer un par un pour les ramener au panier.
Sachant qu'elle avance à 30km/h, quelle est la meilleure stratégie pour qu'elle y mette le moins de temps possible ?
Ils avancent en ligne droite, chacun à sa vitesse, soit 5km/h, 8km/h, 10km/h et 12km/h respectivement. Elle part immédiatement et va les récupérer un par un pour les ramener au panier.
Sachant qu'elle avance à 30km/h, quelle est la meilleure stratégie pour qu'elle y mette le moins de temps possible ?
Sauts de puce :
Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2025-2026Une première espèce de puces saute sur une droite graduée en nombres entiers.
Elle part de 0 et saute toujours dans la même direction. Elle arrive sur le 1, puis le 3 puis le 6 etc... à chaque saut l'écart augmente de 1.
Est-ce qu'elle peut arriver sur un nombre à deux chiffres identiques ? Un nombre à trois chiffres identiques ?
Comment calculer le nombre sur lequel elle arrive en n sauts ?
Une seconde espèce fait des sauts en avant ou en arrière, toujours avec un écart qui augmente de 1. Mais on voit qu'elle arrive sur le nombre n en ayant fait exactement n sauts et sans être sortie du segment [0, n]. Elle peut attendre 1 mais pas 2 et 3 ...
Quels nombres (entre 1 et 10) sont atteignables ? Et les suivants ?
Elle part de 0 et saute toujours dans la même direction. Elle arrive sur le 1, puis le 3 puis le 6 etc... à chaque saut l'écart augmente de 1.
Est-ce qu'elle peut arriver sur un nombre à deux chiffres identiques ? Un nombre à trois chiffres identiques ?
Comment calculer le nombre sur lequel elle arrive en n sauts ?
Une seconde espèce fait des sauts en avant ou en arrière, toujours avec un écart qui augmente de 1. Mais on voit qu'elle arrive sur le nombre n en ayant fait exactement n sauts et sans être sortie du segment [0, n]. Elle peut attendre 1 mais pas 2 et 3 ...
Quels nombres (entre 1 et 10) sont atteignables ? Et les suivants ?
Combien de pentes
Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2025-2026Si on place des points sur un plan sans qu'ils ne soient tous sur la même droite, quel est le plus petit nombre de pentes différentes ?
Avec trois points on a trois pentes, mais est-ce qu'avec n points on a au minimum n pentes ?
Représentez plusieurs configurations, proposez une conjecture et démontrez-la.
Avec trois points on a trois pentes, mais est-ce qu'avec n points on a au minimum n pentes ?
Représentez plusieurs configurations, proposez une conjecture et démontrez-la.
Qui prendra la dernière alumette?
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fénelon Notre Dame (La Rochelle) 2025-2026Les triangles entiers
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fénelon Notre Dame (La Rochelle) 2025-2026Course vers le 1
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fénelon Notre Dame (La Rochelle) 2025-2026Métro Cartésien
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fénelon Notre Dame (La Rochelle) 2025-2026Combien de polytrigos
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fénelon Notre Dame (La Rochelle) 2025-2026Et la lumière fut
Collège Jean Macé (Hénin-Beaumont) 2025-2026On prend un réseau où les sommets sont des ampoules, et les lignes sont des fils électriques.
Elles sont toutes allumées.
Si on clique sur une ampoule, elle s’éteint, ainsi que toutes ses voisines.
Mais si on clique sur une éteinte, elle se rallume, elle éteint celles allumées, et allume les éteintes.
Peut-on toujours éteindre complétement un réseau ?
Elles sont toutes allumées.
Si on clique sur une ampoule, elle s’éteint, ainsi que toutes ses voisines.
Mais si on clique sur une éteinte, elle se rallume, elle éteint celles allumées, et allume les éteintes.
Peut-on toujours éteindre complétement un réseau ?
Les coccinelles
Collège Jean Macé (Hénin-Beaumont) 2025-2026On a des paniers et des coccinelles. Chaque coccinelle a des points, mais jamais le même nombre. On va donc dire que la 1ère en a 1, la 2ème en a 2, etc.
Une coccinelle ne peut jamais se poser sur un nénuphar si le nombre de ses points correspond à la somme de 2 autres coccinelles.
Par exemple, si les coccinelles 1 et 2 vont dans le même panier, la 3 ne peut pas s’y poser.
Combien de coccinelles peuvent se poser ?
Une coccinelle ne peut jamais se poser sur un nénuphar si le nombre de ses points correspond à la somme de 2 autres coccinelles.
Par exemple, si les coccinelles 1 et 2 vont dans le même panier, la 3 ne peut pas s’y poser.
Combien de coccinelles peuvent se poser ?